23 febrero 2017

Kenneth Arrow, Nobel-Winning Economist Whose Influence Spanned Decades, Dies at 95


Kenneth Arrow, Nobel-Winning Economist Whose Influence Spanned Decades, Dies at 95

https://www.nytimes.com/2017/02/21/business/economy/kenneth-arrow-dead-nobel-laureate-in-economics.html?smid=tw-share&_r=1

Kenneth J. Arrow, one of the most brilliant economic minds of the 20th century and, at 51, the youngest economist ever to win a Nobel, died on Tuesday at his home in Palo Alto, Calif. He was 95.
His son David confirmed the death.
Paul A. Samuelson, the first American to win the Nobel Memorial Prize in Economic Science, called Professor Arrow “the most important theorist of the 20th century in economics.” When Professor Arrow received the award in 1972, Professor Samuelson wrote, “The economics of insurance, medical care, prescription drug testing — to say nothing of bingo and the stock market — will never be the same after Arrow.”
Professor Arrow — a member of an extended family of distinguished economists, including Professor Samuelson and Lawrence H. Summers, the former Treasury secretary and adviser to President Barack Obama — generated work that was technically forbidding even to mathematically oriented colleagues.
But over the decades, economists have learned to apply his ideas to the modern design of insurance products, financial securities, employment contracts and much more.
Continue reading the main story

Markets and Majorities

The backdrop for Professor Arrow’s influential early work was the centuries-long recognition that majority voting can produce arbitrary outcomes.
Consider a legislature choosing its leader from among three candidates: Alice, Betty and Harry. If the legislature were to vote first on Alice versus Betty, with the winner running against Harry, it could come to a different decision than had it first started by voting on Alice versus Harry. Because the order with which the legislature takes votes is arbitrary, the ultimate winner of this system of majority voting becomes arbitrary. That puts politics in an awkward corner.
In search of nonarbitrary outcomes, social scientists proffered different ways to conduct votes. For example, the legislature could run all three candidates in the initial round and structure some type of runoff. Or the legislature could give each member multiple votes to be assigned to the three candidates in proportion to the intensity of the member’s preferences.
But no voting system, however cleverly designed, resolved the problems associated with majority voting. In a theorem of stunning generality, Professor Arrow proved that no system of majority voting worked satisfactorily according to a carefully articulated definition of “satisfactory” (which social scientists generally accept).
What Professor Arrow proved in his book “Social Choice and Individual Values” (1951) was far more sweeping. Not only would majority-voting rules prove unsatisfactory; so, too, would nonvoting systems of making social choices if, as was fundamental to his way of thinking, those choices were based on the preferences of the individuals making up the society. (Professor Arrow’s rules did not allow for dictators.)
The Arrow “impossibility theorem” ricocheted around the social sciences, noteworthy for its use of abstract mathematical concepts to generate a conclusion of sweeping applicability.
Professor Arrow’s research opened the academic field of social choice — a literature that ranges from countries picking presidents to corporate boards picking business strategies. Having learned from him that no system works entirely well, academics turned to challenging follow-up questions, like whether some voting systems were better than others.
Professor Arrow’s next major contributions, for which he shared the 1972 Nobel Memorial Prize in Economic Science with the British economist John R. Hicks, were published later in the 1950s. They took a bird’s-eye, “general equilibrium” view of market economies, setting out equations to capture the interplay between consumers and producers.
The basic equations had been set out a half-century earlier by the French economist Leon Walras. But Professor Arrow and his co-authors extended the Walrasian system to capture important complexities, like the fact that markets exist well into the future, posing risk for consumers and producers.
Professor Arrow proved that their system of equations mathematically cohere: Prices exist that bring all markets into simultaneous equilibrium (whereby every item produced at the equilibrium price would be voluntarily purchased). And market competition puts society’s resources to good use: Competitive markets are efficient, in the language of economists.
Professor Arrow’s theorems set out the precise conditions under which Adam Smith’s famous conjecture in “The Wealth of Nations” holds true: that the “invisible hand” of market competition among self-serving individuals serves society well.

Relevance Over Decades

As was true of his earlier work on social choice, the magnitude of Professor Arrow’s theoretical insight was staggering. But, he made clear, his powerful conclusions about the workings of competitive markets held true only under ideal — that is to say, unrealistic — assumptions.
His assumptions, for example, ruled out the existence of third-party effects: The sale of a product by Harry to Joe was assumed not to affect the well-being of Sally — an assumption routinely violated in the real world by, for example, the sale of products that harm the environment.
The mathematics behind the general equilibrium proofs of Professor Arrow and his co-authors were daunting. Few economists mastered the details. But Franklin M. Fisher, who taught graduate courses on general equilibrium at the Massachusetts Institute of Technology, acknowledged in a 2013 interview with The New York Times that all academic economists were in Professor Arrow’s intellectual debt. Professor Arrow proved that the economists’ workaday tools of supply-and-demand equations are built on a logically coherent foundation.
His later research translated common-sense ideas into elegant mathematics. Once the ideas were translated, other economists could extend them in unanticipated directions.

Photo

President George W. Bush presenting Professor Arrow with the National Medal of Science at the White House in 2006. CreditPablo Martinez Monsivais/Associated Press

Take “learning by doing,” a notion that Professor Arrow examined in the early 1960s. The basic idea is straightforward: The more that a company produces, the smarter it gets. Decades later, economists incorporated this idea into sophisticated theories of “endogenous growth,” which have a country’s rate of economic growth depending on internal policies that promote innovation and education — the very forces that Professor Arrow’s writings anticipated.
Professor Arrow also created mathematical concepts by which economists could measure and analyze risk. William F. Sharpe, who won a Nobel in 1990 for analyzing the relationship between financial risk and return, credited Professor Arrow with helping to formulate the basis for modern theories of financial investment and corporate finance.
Professor Arrow, he said, belonged in the “pantheon” of investment management. His ideas have worked their way into the design of complicated financial securities, known as derivatives, like options (which give the owner the right, but not the obligation, to buy or sell a specified asset at a specified price on or before a specified date). Businesses buy and sell financial derivatives to protect themselves from financial turmoil, and investors buy and sell them to speculate on future movements of security prices.

Professor Arrow’s work spawned the modern treatment of “moral hazard,” whereby the fact of the purchase of insurance systematically affects the behavior of the parties to the contract.Professor Arrow anticipated the modern analysis of markets in which buyers and sellers do not share accurate information (now known as markets with asymmetric information). In a strikingly prescient article published in the early 1960s, he teased apart the complexities that asymmetric information creates in the market for health insurance. He pointed to incentives for patients and their physicians to agree to medical procedures of questionable value when a third party, the insurer, pays the bills.

The problems that Professor Arrow flagged a half-century ago figured prominently in the design of the Affordable Care Act, President Barack Obama’s 2010 health care legislation, including its controversial “individual mandate,” which required everyone to buy coverage whether they expected to need medical care or not.
Joseph Stiglitz, who won the Nobel in 2001 for formalizing the study of markets with incomplete information, traces his work to Professor Arrow’s initial forays.
The upshot? The theorist who in the 1950s proved that perfectly competitive markets could exist as a matter of mathematical logic spent much of the rest of his career showing how far short of perfection actual markets fall.

A Lifetime of Learning

Kenneth Joseph Arrow was born on Aug. 23, 1921, in New York City. After graduating from Townsend Harris High School in Manhattan, he raced through City College, finishing with a bachelor’s degree in social science and in mathematics — what he called later “a paradoxical combination that was prognostic of my future interests.”
He did his graduate work at Columbia University, interrupting it to serve as a weather officer, rising to captain, in the Army Air Corps during World War II. His first published paper, “On the Optimal Use of Winds for Flight Planning,” drew on this experience.
Early in his career he worked at the RAND Corporation, the research and development organization in Santa Monica, Calif., in what he described as “the heady days of emerging game theory and mathematical programming.”
Professor Arrow spent the bulk of his career at Stanford University, except for a teaching stint at Harvard from 1968 to 1979. He also served briefly on the staff of President John F. Kennedy’s Council of Economic Advisers.
He retired from Stanford in 1991 but continued to accept short-term appointments in Europe and to serve on the external faculty and the science board of the Santa Fe Institute, a research center in New Mexico focused on the interplay of the social and physical sciences.
He led the American Economic Association, served on the Intergovernmental Panel on Climate Change and, in 2004, was awarded the National Medal of Science, the nation’s highest scientific honor, presented in 2006 by President George W. Bush.
“His politics are liberal, definitely,” said Robert M. Solow, a longtime friend and fellow Nobel laureate in economics. “With other people, this might rub the right half of the economics profession the wrong way, but it doesn’t with Kenneth.”
Professor Arrow’s family members with ties to academic economics include his sister, Anita Summers, a professor emerita at the Wharton School of the University of Pennsylvania. Her husband, Robert Summers, who died in 2012, was also a noted professor of economics there.
Robert Summers was the brother of Paul Samuelson and the father of Lawrence Summers, who at 28 became a tenured economics professor at Harvard and later served as the Treasury secretary under President Bill Clinton, as well as president of Harvard and senior adviser to Mr. Obama.
Professor Arrow’s wife, the former Selma Schweitzer, whom he married in 1947, died in 2015. Besides his sister and son David, he is survived by another son, Andrew, and a grandson.
Professor Arrow was widely hailed as a polymath, possessing prodigious knowledge of subjects far removed from economics. Eric Maskin, a Harvard economist and fellow Nobel winner, told of a good-natured conspiracy waged by junior faculty to get the better of Professor Arrow, even if artificially. They all agreed to study the breeding habits of gray whales — a suitably abstruse topic — and gathered at an appointed date at a place where Professor Arrow would be sure to visit.
When, as expected, he showed up, they were talking out loud about the theory by a marine biologist — last name, Turner — which purported to explain how gray whales found the same breeding spot year after year. As Professor Maskin recounted the story, “Ken was silent,” and his junior colleagues amused themselves that they had for once bested their formidable professor.
Well, not so fast.
Before leaving, Professor Arrow muttered, “But I thought that Turner’s theory was entirely discredited by Spencer, who showed that the hypothesized homing mechanism couldn’t possibly work.”



2-Kenneth J. Arrow F. H. Hahn
Análisis general competitivo
La tradición es algo mucho más importante. No puede heredarse, y si se desea debe obtenerse con grandes sacrificios.
-T. S. Eliot. Tradition and the Individual Talent.
Gran parte de este libro se ocupa del análisis de una economía idealizada, descentralizada. En particular, se supone que en lo fundamental hay competencia perfecta y que las elecciones de los agentes económicos pueden deducirse de ciertos axiomas de racionalidad. Sólo recientemente se ha vuelto posible un examen más o menos completo y riguroso de esta construcción, en proceso desde hace mucho tiempo.
Nos proponemos hacer una exposición sistemática del tema. Al recorrer este camino, se puso en claro que podría atravesarse una cantidad considerable de territorio intelectual inexplorado sin sacrificar los objetivos básicamente expositivos del trabajo; por el contrario, en muchos casos la superación de lagunas da un aspecto más sistemático al conjunto. Igualmente, en la mayoría de los casos hemos ofrecido pruebas nuevas de los resultados conocidos en la teoría del equilibrio competitivo.
En las notas que se encuentran al final de cada capítulo se anotan los reconocimientos de prioridades; no hemos tratado de elaborar historias detalladas, sino sólo de presentar el primer enunciado importante de cada resultado. Los teoremas del texto no citados en los notas son, o tan bien conocidos que la referencia habría resultado pedante, o bien son originales de los autores de este libro hasta donde nosotros sabemos.
El libro es estrictamente un esfuerzo conjunto, y ambos autores son responsables de todos los errores. En el acto de la redacción, cada autor tuvo la responsabilidad inicial de cada capítulo, que luego se sometió a las críticas y enmiendas reiteradas del otro; en varios casos, el proceso de aproximación pasó por varias etapas. Este proceso habría continuado, sin duda, si los autores no hubiesen aprendido por amarga experiencia que el tiempo en que se da la recontratación coincide de hecho con el tiempo real. Arrow escribió los borradores iniciales de los capítulos 1 y 3-8, y los apéndices matemáticos B y C; Hahn escribió los borradores de los capítulos 9-14 y el apéndice matemático A. Ambos autores escribieron secciones del capítulo 2.
http://www.eumed.net/cursecon/economistas/textos/arrow-hahn-agc.htm#Prefacio
-----------------------
3.-Las partes y el todo
A pesar de ser uno de los primeros y el más joven premio Nobel de Economía, Kenneth J. Arrow es muy poco conocido por los ajenos al oficio. En la primera parte de este texto me centraré en lo que le llevó al Nobel de Economía en 1972 y en la segunda mostraré el “otro” Arrow (complementario del anterior, pero muy diferente), su filosofía y algunos de sus consejos y ejemplos.
Lo que le llevó al Nobel son los trabajos en los que pasa de las partes al todo: de lo individual a lo social (el teorema de Arrow) y de lo parcial a lo general (la teoría del equilibrio general). Antes de entrar en ambos aspectos, revisaré brevemente sus primeros pasos, porque, como se verá más adelante y como ocurre casi siempre, son decisivos.
 http://www.finanzasparamortales.es/kenneth-j-arrow/
Primeros pasos
Hijo de emigrantes que vivieron en Estados Unidos desde niños, Arrow nace en 1921. La Gran Depresión hizo que su familia pasara de rica a pobre: “mi padre tuvo un éxito inusual en los negocios (y) lo perdió todo en la Gran Depresión y fuimos pobres durante diez años”. Se crió en un hogar “lleno de libros” y ello le permitió ser “un lector omnívoro”. La pobreza le llevó a estudiar la carrera en su ciudad (Nueva York) y en un centro público en el que “la calidad de los estudiantes era alta” y el profesorado era, en general, “competente e incluso en ocasiones más que eso”. Por ejemplo, en dicho centro disfrutó durante un año de las enseñanzas de “un gran lógico polaco”, Alfred Tarski, que, por una serie de extrañas circunstancias, pasaba por allí (Arrow le revisó las pruebas de su Introducción a la lógica, publicada en 1941).
El “miedo al desempleo” generado por la Gran Depresión le llevó a diversificar su cartera formativa: “a completar mis intereses abstractos en matemáticas y lógica con la preparación para varias ocupaciones prácticas alternativas, entre otras las de profesor de matemáticas en secundaria, trabajos actuariales y estadística”. Dado que cuando se graduó (1940, 19 años, en ciencias sociales con intensificación en matemáticas) no había plazas de secundaria, termino realizando un posgrado en estadística en su ciudad, en la Universidad de Columbia, donde se encontró con el mejor profesor posible: Harold Hotelling: “cuando cogí su asignatura en economía matemática, me di cuenta de que había encontrado mi lugar”. El resultado de todo ello fue que pasó de las matemáticas a la economía.
Durante la II Guerra Mundial trabajó como oficial meteorólogo (realmente como investigador) en las Fuerzas Aéreas y en 1946 se incorporó a las labores de la Comisión Cowles. Allí se encontró con Tjalling Koopmans (Premio Nobel en 1975), quien resolvió definitivamente sus dudas respecto a ser o no ser actuario: “Koopmans trabajaba allí. Le dije con toda sinceridad que estaba considerando la posibilidad de labrarme un futuro en la universidad; no sabía si quería hacer un doctorado y trabajar en el medio académico, o si quería ser actuario. Sabía que, a su llegada a Estados Unidos en 1941, Koopmans había trabajado un tiempo en una compañía de seguros. Así es que le pregunté: “dígame sinceramente, ¿cuál es su experiencia respecto a las compañías de seguros?”. Y me contestó: “Pues no, allí no hay música”. Y lo cierto es que, en cuanto dijo esto, supe que no me convertiría en actuario. Estoy seguro de que, de todas formas, no hubiera sido actuario, pero en ese mismo instante supe que habían desaparecido todas las dudas de mi mente”.

El teorema de Arrow
El ahora denominado teorema de Arrow (o teorema de la imposibilidad de Arrow) es el fruto de su tesis doctoral (“Elección social y valores individuales”, publicada en 1951; está traducida la segunda edición –de 1963-, que fue publicada por el Instituto de Estudios Fiscales en 1974 con una excelente Introducción de A. Mas-Colell) y se centra en algo que en principio parecía muy posible: el paso de lo individual (la parte) a lo social (el todo). Por ejemplo, el paso de las preferencias individuales de los ciudadanos (o de los accionistas de una empresa) a las decisiones de la sociedad (o de la empresa, que también es una sociedad, aunque sea de otro tipo) sobre el divorcio (o una nueva inversión). Arrow demostró que este paso, que habitualmente se da sobre la base de las mayorías alcanzadas en las correspondientes votaciones, podía ser imposible bajo determinadas condiciones que parecían bastante razonables.
Arrow comienza a enfrentarse al problema durante su estancia (verano de 1949) en la Rand Corporation, en la que había un filósofo (Olaf Helmer) que Arrow ya conocía porque, casualidades de la vida, se había encargado de traducir el libro de Tarski del que Arrow había corregido las pruebas. En aquel momento la Rand jugaba con la teoría de juegos para explicar las estrategias de las Estados Unidos y la URSS y Helmer le preguntó si tenía sentido aplicar dicha teoría a una nación (un “todo”) cuando la teoría de juegos se basaba en jugadores (las “partes” del todo, los individuos). Arrow le contó lo mucho que sabían los economistas sobre este paso de lo individual a lo social, pero, al final, descubrió que los economistas no sabían tanto y que, por decirlo con la célebre frase de El Guerra, “lo que (en determinadas condiciones, pero no en otras) no puede ser, no puede ser y además es imposible”, esto es, que, el paso de los valores individuales a las elección social era cualquier cosa menos algo simple.

El equilibrio general
En la microeconomía existe el enfoque del “equilibrio parcial” y el del “equilibrio general”. Ambos comparten la noción de “equilibrio” en el sentido de ajuste entre la oferta y la demanda, pero uno ve sólo una parte (por ejemplo, el mercado del café, olvidándose del resto de los mercados) y de ahí que se le denomine “parcial”, y el otro ve todos los mercados en su conjunto. El análisis de la economía en clave de “equilibrio general” empieza con Walras (1874) y, dado lo complejo que era, desaparece hasta los años treinta del pasado siglo, cuando vuelve a aparecer “a través de su magistral exposición y desarrollo por John Hicks” (con quien compartió Arrow el Nobel en 1972). Tras la labor de Hicks seguía existiendo un gran problema, cual era el de si tenían solución el gran número de ecuaciones que exigía el equilibrio general. El relevo lo tomó un estadístico muy importante, Abraham Wald, gracias al empecinamiento y el dinero de un economista y banquero vienés (Karl Schlesinger), quien creía que se podía demostrar la existencia del equilibrio general. Wald avanzó en el tema, pero Hitler le obligó a escapar a los Estados Unidos, donde se olvidó del asunto y se dedicó a la estadística matemática en la Universidad de Columbia, como ayudante de Hotelling. Fue allí donde lo conoció Arrow, quien se enteró, “no sé cómo”, del problema del equilibrio general y le preguntó a Wald sobre sus contribución al mismo. En vez de aprovechar la ocasión para contarle los detalles de su magnífico trabajo sobre dicho tema, Wald le dijo que “el asunto era muy difícil” y ello hizo que Arrow se olvidara del mismo hasta que Nash (Premio Nobel en 1994; sí, el de la mente maravillosa) planteó uno de sus teoremas sobre la teoría de juegos, teorema que “tenía muchos paralelismos con el problema de la existencia del equilibrio (general) competitivo”. El resultado fue que “tomando prestadas y adaptando las herramientas matemáticas empleadas por Nash, fui capaz de establecer, de un modo muy general, las condiciones bajo las cuales las ecuaciones que definían el equilibrio general tendrían solución”.
El trabajo de Arrow se desarrolló en paralelo con el de Gerard Debreu (Premio Nobel en 1983) y, al final, decidieron publicar dichos resultados conjuntamente (1954). Con ellos, por fin se había llegado a demostrar que el mundo de la mano invisible de Adam Smith era posible desde un punto de vista teórico. Aunque esta fue la otra contribución que le llevó al Nobel, Arrow la diferencia claramente de la primera (la de la teoría de la elección social y su teorema): “es agradable para el ego ser el primero o uno de los primeros en un nuevo descubrimiento. Sin embargo, y al menos en este caso, está claro que el desarrollo de la teoría del equilibrio general habría seguido la misma trayectoria sin mi aportación”.

II.-El aprendizaje y la información

En la concesión del Nobel a Arrow sólo se tienen en cuenta sus contribuciones al equilibrio general y a la elección social, pero en aquel momento ya había hecho otras aportaciones fundamentales. Entre ellas, su artículo de 1962 sobre el aprendizaje mediante la experiencia y su artículo de 1963 sobre los servicios médicos. A continuación se introducen brevemente dichos artículos y posteriormente se cierra el artículo con su filosofía y algunos de sus consejos y ejemplos.

Aprendizaje mediante la experiencia
Básicamente, lo que hace Arrow en el artículo dedicado al aprendizaje mediante la experiencia (learning by doing) es ofrecer una primera respuesta a un tema que había quedado pendiente en el modelo de crecimiento de Solow de 1956 . En el modelo de Solow el crecimiento depende crucialmente del avance tecnológico, pero no se dice nada respecto a los orígenes de la tecnología. Dicho de otra forma, el cambio tecnológico es “exógeno” (no viene explicado en clave económica). Este es un problema muy importante, pues significa que en el modelo de Solow la clave del crecimiento está en algo que los economistas conocemos (la tecnología) pero, por así decirlo, sólo de vista, pues no sabemos de donde viene. Pues bien, lo que nos dice Arrow en su artículo de 1962 es que el cambio tecnológico se puede relacionar con el aprendizaje y que, a su vez, el aprendizaje puede obtenerse mediante la experiencia, haciendo las cosas regular o mal al principio (sencillamente porque nos falta experiencia) y mejor al final (porque ya la tenemos). Este razonamiento es dinámico (hay un mundo antes de la experiencia y otro después de ella) y sirve, por ejemplo, para sostener un argumento clásico a favor de las ayudas transitorias para desarrollar un sector naciente (el denominado “argumento de la industria naciente”) en el que un país puede tener una ventaja comparativa potencial (antes de aprender) y una ventaja comparativa real (después de haber aprendido), ventaja real que, una vez que se tiene, convierte en innecesaria la ayuda inicial (de ahí su carácter transitorio).

Información imperfecta
El artículo de 1963 sobre los servicios médicos surge por encargo de la Fundación Ford vía el investigador Víctor Fuchs, quien estaba entonces en la fundación y consideraba interesante combinar pares de artículos, “un estudio de alguien dedicado al campo y otro realizado por un teórico, para provocar el uso de herramientas teóricas en dicho campo”. Arrow aceptó el reto (“siempre tuve dificultades para resistirme a retos como éste”) y aprovechó los conocimientos obtenidos durante su trabajo como actuario: “Independientemente de los motivos que me llevaron a involucrarme en el sector de los actuarios de seguros, una cosa es cierta: realmente aprendí mucho. Una de las cosas con la que me familiaricé durante esta época de mi vida fue el azar moral y la selección adversa. Y cuando veinte años más tarde me interesé por la economía de los servicios médicos, aproveché los frutos de este aprendizaje”.
El resultado de esta triple conjunción (encargo, experiencia como actuario, teórico destacado) es un artículo (“La incertidumbre y el análisis del bienestar de las prestaciones médicas”) que ha sido incluido dentro del conjunto formado por los veinte más importantes publicados en la American Economic Review en sus primeros cien años. Lo que, a su juicio, ha aportado Arrow con este artículo es un cambio de perspectiva: “en este caso y en contra de lo sucedido en los otros dos (se refiere a los artículos que le llevaron al Nobel), mi contribución no ha sido tanto un logro específico y técnicamente bien definido como un punto de vista que ha servido para reorientar la teoría económica”.
La clave del artículo son las diferencias de información entre los participantes en algunos mercados. Así, en el mercado de los servicios médicos no ocurre lo mismo que en el de las manzanas. Cuando uno compra manzanas, sabe cómo están, tiene la misma información que el vendedor respecto a su estado, la información es, pues, “simétrica” (todos los participantes tienen la misma información), mientras que si uno va al médico, su información es “asimétrica”, uno sabe que está malo, pero no sabe lo malo que está y esto sí lo sabe el médico y, consecuentemente, la información del paciente es menor que la del médico. Lo mismo pasa en el mercado de seguros: “La persona asegurada conoce mejor su estado de salud que el asegurador”. En definitiva, “el que los individuos tienen diferencias de información es un elemento clave en un sistema económico”. Éste es el cambio de perspectiva que generó Arrow con dicho artículo y este cambio lleva, a su vez, a una conclusión fundamental: “una de las condiciones básicas del modelo competitivo no llega a satisfacerse”.
El que la información sea imperfecta genera, al menos, dos consecuencias: por una parte, lleva a “una reducción del nivel de bienestar” respecto al que habría en el mundo ideal del equilibrio competitivo y, por otra, al surgimiento de instituciones: “cuando el mercado falla en su misión de alcanzar una situación óptima, la sociedad tiende a reconocer, en cierta medida, esa deficiencia y aparecerán instituciones sociales distintas del mercado con el propósito de subsanarla”. Así, por poner un ejemplo diferente del relacionado con los servicios médicos, la institución de la aparcería fue la salida que se encontró en su momento al problema de la elevada incertidumbre económica derivada de la incertidumbre climatológica que afectaba a la agricultura.
Filosofía, consejos y ejemplos
Tras la obra de Arrow hay una concepción de la vida y tras su vida hay actitudes ejemplares. Comenzando por su concepción de la vida y, concretamente, por su idea de lo que es una “sociedad justa”, Arrow resalta “el papel central de los demás”, que incluye “dos aspectos, distinguibles pero coherentes e incluso complementarios: preocupación por los demás y respeto hacia los demás. La preocupación sin respeto es, en el mejor de los casos, paternalismo, y puede desembocar incluso en la tiranía. El respeto sin preocupación es el frío mundo del individualismo extremo, una negación del carácter intrínsecamente social de la humanidad”.
Este “papel central de los demás” lleva a que Arrow tenga “un compromiso general con la libertad”, en la que se incluye las libertades políticas (“libertad de palabra…”) y económicas (“en este caso las fuerzas constrictoras son los ingresos bajos y la pobreza y, por consiguiente, la mejora de la situación económica y de las oportunidades constituye un componente básico para aumentar la libertad, para ampliar la esfera en la que cada individuo puede realizar sus objetivos autónomos”). Todo ello lleva a que Arrow no vea conflicto entre la libertad y la igualdad: “… no estoy de acuerdo con el supuesto conflicto entre igualdad y libertad; la igualdad de ingresos y de poder político y expresivo son esenciales para la libertad”.
En lo que respecta a la metodología, Arrow apuesta por el pluralismo (“siempre he sido un firme defensor del pluralismo”), pluralismo que se manifiesta de muchas maneras, incluida la apertura a otras ciencias. Por ejemplo, frente a los que quieren reducir la sociología a la economía, Arrow señala que “la conducta individual está siempre mediatizada por las relaciones sociales. Estas forman parte de la descripción de la realidad tanto como las conductas individuales” (“Individualismo metodológico y conocimiento social”) y, frente a los que quieren reducir la historia a ciencia social, Arrow señala que “Los dos modos de investigación son complementarios, no sustitutivos” (“Maine y Texas”) (las traducciones de ambos artículos se han publicado en los números 22 y 37 de RAE Revista Asturiana de Economía).
Con la experiencia, Arrow ha aprendido, entre otras, tres lecciones que, por venir del sabio el consejo, quizás no deberíamos olvidar:
Primera, que el mundo es más incierto de lo que mucha gente piensa y que ello nos obliga a extremar la prudencia: “en mi opinión, la mayoría de los individuos subestiman la incertidumbre del mundo… Nuestro conocimiento del funcionamiento de las cosas, en la sociedad o en la naturaleza, arrastra nubes de vaguedad… Al elaborar una política de amplias repercusiones sobre un individuo o una sociedad, hay que ser cautos, porque no podemos predecir las consecuencias”.
Segunda, que la incertidumbre debería llevarnos a veces a callarnos. Por decirlo con la célebre frase de Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosoficus que el mismo Arrow menciona: “hay que callar la boca” en todo aquello “de lo que no se puede hablar”, simplemente para evitar los disparates y el vacío: “La fragilidad de nuestro conocimiento tiene con frecuencia otra consecuencia: la expresión del disparate. En apariencia, gran parte de nuestra comunicación es portadora de significado, pero en realidad no ocurre así. No es en absoluto informativa. Naturalmente, el discurso cotidiano está plagado de declaraciones vacías”. De ahí que Arrow responda a veces a algunas de las preguntas que le plantean en las entrevistas diciendo que no tiene nada (interesante, fundamentado) que decir.
Tercera, que, aplicando su análisis, se aprende haciendo y, siguiendo su ejemplo, se vive aprendiendo, en un maravilloso círculo virtuoso (hacer-aprender-vivir-hacer…). Arrow se retiró (pasó a emérito) en 1991, a los 70 años, “como se requería entonces”, pero a la alturas de 2014 (93 años) sigue “haciendo” (artículos científicos y otras tareas urgentes) y, por lo tanto, sigue “aprendiendo” y, consecuentemente, sigue “viviendo” intensamente. Se le puede encontrar en los temas y problemas del cambio climático y de la sostenibilidad (en la equidad intergeneracional, en definitiva), y en los relacionados con la equidad internacional, vía su destacada labor en el problema de la malaria, temas y problemas todos ellos a los que se sigue enfrentando con esa admirable y excepcional combinación de rigor y calor que le transmitieron Hotelling (el de su entrada en la economía) y Koopmans (el de su no salida de la misma).

Cándido Pañeda
Catedrático de Economía Aplicada Universidad de Oviedo
http://www.finanzasparamortales.es/kenneth-j-arrow/

https://www.ft.com/content/0cb9f868-f8e8-11e6-bd4e-68d53499ed71

20 febrero 2017

Guía para aprender métodos cuantitativos en economía (II) Jesús Fernández-Villaverde

Guía para aprender métodos cuantitativos en economía (II)

Jesús Fernández-Villaverde

Continuo esta semana mi guía para aprender métodos cuantitativos en economía. En la primera entrega, para mi agradable sorpresa muy leída, me centré en los libros de matemáticas. Hoy, pasaré a tratar las materias importantes para saber realizar análisis empírico, uno de los dos fundamentos de la economía (junto con la teoría). Para ello tenemos que discutir probabilidad, estadística y econometría.
Dividiré mi exposición en libros de nivel de grado y de nivel de postgrado. Algunos de los libros de este segundo grupo pueden ser empleados, sin embargo, para cubrir asignaturas más avanzadas y optativas en el grado. Refiero al lector interesado a mi primera entrega para explicar mis criterios de selección, incluidos, por ejemplo, el preferir libros en inglés y evitar las traducciones. La econometría es la misma en Ribadesella, en Palo Alto o en Ciudad del Cabo. Igualmente, en la primera entrega defino con cierta precisión que entiendo en el contexto de esta serie por un semestre.
Insisto, también, que en probabilidad, estadística y econometría existen decenas de libros excelentes y el no citar un texto con el que un lector puede estar familiarizado puede no tener más razón que la necesidad de escribir una entrada en este blog con una longitud razonable.
1. Enseñanza de Grado
A nivel de grado, una buena enseñanza en métodos empíricos debería de organizarse en cuatro semestres obligatorios, uno de probabilidad, uno de estadística (sin que esta cubra regresión lineal, pues es mejor darla en econometría) y dos de econometría más algunos semestres de optativas. Junto con los seis semestres de matemáticas que recomendé en la primera entrada (tres semestres de cálculo, un semestre de algebra lineal, un semestre de ecuaciones diferenciales y en diferencias finitas y un semestre de optimización) más dos semestres de programación/métodos numéricos que recomendaré en la tercera entrega de esta serie, tenemos un bloque de 12 semestres de métodos cuantitativos obligatorios más las posibles optativas. Dado un grado español con 40 asignaturas semestrales (8 semestres con cinco asignaturas cada uno), dedico aproximadamente un tercio de la carga lectiva a los mismos, considerablemente más que en los planes actuales. Tal incremento debe lograrse suprimiendo asignaturas de escaso valor añadido, como Economía MundialOrganización Económica Internacional o Política Económica.
Probabilidad
La clave para el éxito en estadística y econometría es entender probabilidad. Si uno no puede seguir los argumentos básicos de probabilidad, todo lo demás es imposible. Si uno tiene los conceptos claros de probabilidad, todo lo que viene después es mucho más claro.
Probability
Y en probabilidad hay un texto magnífico, Introduction to Probability de Joseph K. Blitzstein y Jessica Hwang, basado en la famosa clase Stat 110 de Harvard. Los videos de la misma están en Internet
El libro, además, emplea R, que es un lenguaje abierto y gratuito y el que toda vehemencia recomendaría emplear en enseñanza, sobre todo en unión con RStudio.
Estadística
Friedman
Si uno se pasea por la sección de estadística de una librería universitaria o visita Amazon se encontrará con docenas de libros de estadística. La mayoría de los mismos cumplen con soltura su cometido, pero normalmente sin mucha gracia y sin lograr que los estudiantes entiendan de verdad las ideas de la inferencia. Statistics de David Freedman, Robert Pisani y Roger Purves es distinto. En vez de perderse en fórmulas, que ya pueden ser calculadas mucho más rápido que cualquiera con R o cualquier otro lenguaje estadístico, Freedman y sus coautores se centran en los conceptos y en qué significa aprender de los datos.
Wasserman
Algunos lectores pueden, sin embargo, preferir un libro más riguroso y matemático.
All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference de Larry Wasserman es una opción clara. Además, existe código en R para los ejercicios (¿se les ha escapado a alguien que hay que enseñar con R?). El único problema es que repite muchos de los temas de probabilidad que ya se deberían de haber cubierto en el semestre correspondiente.
Statistics
Finalmente, si algún lector quiere un libro completamente centrado en el empleo de R, el texto de Nicole M. Radziwill es muy sencillito y fácil de seguir.
Si yo fuera a dar clase a estudiantes con mejor preparación matemática probablemente emplease el libro de Wasserman antes que el de Freedman o el de Radziwill. Si fuera a dar clase a gente con ganas de ponerse a correr cosas desde el primer momento, emplearía el de Radziwill. Y el de Freedman sería para los casos intermedios (que son casi todos los demás). Y eso si, evitaría los libros con títulos como “Estadística para Economía y Negocios” o similares.
Econometría
Econometrics
Un buen libro de econometría de grado es Introductory Econometrics: A Modern Approach, de James Wooldridge. El texto trata los temas clásicos -regresión, series temporales, datos de panel, variables instrumentales y variables limitadas- de manera precisa y llega a incluir temas relativamente avanzados como instrumentos débiles. Y con más de 100 bases de datos en distintos formatos, los estudiantes pueden correr en R (o en otras alternativas) los distintos ejercicios propuestos.
watson
Una alternativa es Introduction to Econometrics de James Stock y Mark Watson. Este texto enfatiza la intuición sobre los resultados matemáticos y da lugar a reacciones encontradas. Algunos estudiantes lo encuentran interesante y entretenido. Otros se pierden con el mismo.
Particularmente me gusta más el libro de Stock y Watson pero el Wooldridge es un opción menos arriesgada. Como he explicado anteriormente, ambos libros requieren al menos dos semestres para ser cubiertos con un mínimo de garantías.
2. Enseñanza de Postgrado
Después de concluir el grado, los estudiantes necesitan un nivel más avanzado de probabilidad, estadística y econometría. La manera en los que los estudios se pueden organizar depende de los detalles del programa, pero normalmente pasan por un año completo de econometría y al menos un semestre complementario de temas más concretos.
Probabilidad
Billinsgley
Ahora en probabilidad hay que centrarse en teoría de la medida. El texto más usado en economía es Probability and Measure de Patrick Billingsley. En mi casa debe de haber al menos dos copias pues se enseñaba tanto en Minnesota como en Wisconsin (donde estudió la otra economista de mi familia 😉 ). Patrick Billingsley, además de gran matemático, parece ser fue actor de cierto talento.
Convergence
Del mismo autor, un libro que siempre viene muy bien es Convergence of Probability Measures.
Pollard
Una alternativa en teoría de la medida más moderna, más compacta y bien orientada a las necesidades de los economistas es A User's Guide to Measure Theoretic Probability de David Pollard
Williams
Un libro más conciso y que desarrolla la teoría de la probabilidad desde una perspectiva de martingalas es Probability with Martingales de David Williams. Varios de mis compañeros de doctorado en Minnesota hablaban maravillas del libro, pero yo no lo estudié.
Karatzas
Finalmente, si alguien quiere un tratamiento más avanzado (quizás para hacer investigación en tiempo continuo y/o aprender cálculo estocástico), Brownian Motion and Stochastic Calculus de Ioannis Karatzas y Steven Shreve es particularmente apto para economistas. Shreve tiene también dos libros, Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model y Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models tremendamente útiles si alguien quiere concentrarse en valoración de activos (o simplemente una introducción rápida a cálculo estocástico). Finalmente, algún libro especializado en procesos estocásticos puede ser un recurso adicional para aquellos con ganas de trabajar en este campo (aquí y aquí).
Estadística
A nivel de postgrado, la clase de estadística puede enseñarse con un enfoque más frecuentista o un enfoque más bayesiano (a nivel de grado es más complejo cubrir mucha estadística bayesiana).
Berger
Desde una perspectiva más frecuentista, un clásico es Statistical Inference, de George Casella y Roger Berger (que eso es una barba y lo demás son tonterías). Otros complementos, un poco más avanzados son el famoso trío de Testing Statistical Hypotheses de Erich L. Lehmann y Joseph P. RomanoTheory of Point Estimation de Lehmann y Casella y Elements of Large-Sample Theory, de nuevo de Lehmann.
Waart
Esta trilogía se puede completar con un buen libro de teoría asintótica más cortita, como Asymptotic Statistics de A. W. van der Vaart o Stochastic Limit Theory de James Davidson. Un complemento a la teoría asintótica es el bootstrap. Un tratamiento actualizado del mismo aparece aquí. De hecho, se puede hasta dar una clase de introducción a la estadística con remuestreo como tema central (aquí).
Bayesian
Desde el punto de vista bayesiano, a mi me gusta mucho Bayesian Data Analysis, Third Edition de Andrew Gelman (cuyo blog de estadística es sencillamente magnífico), John B. CarlinHal S. SternDavid B. DunsonAki Vehtari y Donald B. Rubin (si alguno sabe de estadística, en este momento se habrá dado cuenta que esto es un verdadero dream team). Una alternativa que yo utilicé en su día dando clase es The Bayesian Choice: From Decision-Theoretic Foundations to Computational Implementation (2nd Edition) de Christian Robert. El libro de Robert se centra más en fundamentos pero es muy poco más antiguo, algo que importa en una area que ha evolucionado tanto en los últimos años.
efron
La estadística moderna se hace con ordenador. Un libro que ya he recomendado y que resume la literatura de estadística computacional es Computer Age Statistical Inference: Algorithms, Evidence, and Data Science de Bradley Efron (el inventor del bootstrap) y Trevor Hastie.
Robert
Cosas más concretas de computación incluyen Monte Carlo Statistical Methods (2nd Edition) de Christian Robert y George Casella, que es clave, por ejemplo para aprender cosas como el Metropolis-Hastings.
Econometría
Curiosamente ahora mismo no existe un texto claro para recomendar para una primera asignatura de econometría de postgrado. Un libro que se empleó mucho en el pasado, Econometric Analysis de William H. Greene, se ha quedado anticuado (y así, en la privacidad de un blog, a mi nunca me gustó). Otras alternativas, como Econometrics de Fumio Hayashi no cubren todos los materiales que yo querría explicar en esa clase. En vistas de la situación, yo emplearía el borrador en la red Econometrics de Bruce Hansen, que además es gratis.
mostly
Podemos entonces pasar a tratar temas más específicos. Empecemos con libros que tratan microeconometría. Un texto muy popular estos días es Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist's Companion de by Joshua D. Angrist y Jörn-Steffen Pischke. El libro viene acompañado de un texto complementario más sencillo, Mastering Metrics. Hablamos de la filosofía detrás de estos libros en NeG hace tiempo.
Mostly Harmless... tiene muchas cosas buenas: entiza los problemas de causalidad, explica muy bien qué es un experimento aleatorizado, para qué sirven las variables instrumentales, etc. Yo lo empleo para algunas de mis clases de estrategias de identificación con cierto éxito, creo. A la vez, el libro se mete algunas veces en berenjenales que no vienen a cuento. Como dice Chris Sims en su comentario a un artículo de los dos mismos autores basado en el libro (y que se aplica por tanto igual al mismo): “What the essay says about macroeconomics is mainly nonsense. The fact that the essay is so mistaken about macroeconomics reflects a broader problem. Recent enthusiasm for single-equation, linear, instrumental variables approaches in applied microeconomics has led many in these fields to avoid under taking research that would require them to think formally and carefully about the central issues of nonexperimental inference, what Griliches saw, and I see, as the core of econometrics.” Mi compañero Aviv Nevo tiene otro ensayo en el que expresa ideas similares sobre las limitaciones de Mostly Harmless... en organización industrial. Un segundo compañero mío, Frank Diebold, es bastante más duro. E incluso con los experimento aleatorizados uno ha de entender sus ventajas e inconvenientes, como bien explica este trabajo de Angus Deaton y Nancy Cartwright. Con cautela, pues, Mostly Harmless... es un fantástico libro. Sin cautela, es quite harmless.
Imbens
Una alternativa, más dura y rigurosa, a Mostly Harmless... es Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences: An Introduction de Guido W. Imbens y Donald B. Rubin (que ya es la segunda vez que sale en esta entrada y, ya que estamos hablando de causalidad, el autor más lógico).
Cameron
Otras areas de microeconometría quedan muy bien servidas con Microeconometrics: Methods and Applications de A. Colin Cameron y Pravin K. Trivedi.
Arellano
Para más detalles sobre datos de panel la mejor opción es, claramente, Panel Data Econometrics de Manuel Arellano, que es el que de verdad sabe de esto en el mundo. Como complemento tenemos la tercera edición de Analysis of Panel Data de Cheng Hsiao. Otra opción, que cubre también secciones cruzadas, es Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, de Jeffrey M Wooldridge.
Para más detalles de modelos discretos, tenemos Discrete Choice Methods with Simulation de Kenneth E. Train y de modelos de recuento está Regression Analysis of Count Data (2nd Edition) de A. Colin Cameron y Pravin K. Trivedi.
Hamilton
Pasemos ahora a series temporales. En mi opinión, y a pesar de sus años, Times Series de Jim Hamilton sigue siendo la mejor referencia.
New
Más moderno es New Introduction to Multiple Time Series Analysis de Helmut Lütkepohl. A mi no es un libro que me emocione pero los comentarios en Amazon son muy positivos, así que lo mismo es mi culpa. El mismo autor, con Lutz Killian, tiene un libro a punto de salir de VARs y que se puede encontrar todavía en la red. Y aunque parezca mentira, Time Series Analysis: Forecasting and Control de George E.P. BoxGwilym M. JenkinsGregory C. Reinsel y Greta M. Ljung sigue siendo un sitio donde uno puede aprender muchísimo. Finalmente, en la intersección entre macro y series temporales tenemos otros dos libros de provecho: Structural Macroeconometrics de David N. DeJong y Chetan Davey y Methods for Applied Macroeconomic Research de Fabio Canova.
Elliot
Sobre cosas más específicas de series temporales, tenemos Economic Forecasting de Graham Elliott y Allan Timmermann.
lo
Sobre econometría financiera tenemos, aunque ya con unos añitos, The Econometrics of Financial Markets (2n Edition) de John Y. CampbellAndrew W. Lo y mi vecino de Wharton A. Craig MacKinlay. Un buen complemento es High-Frequency Financial Econometrics de Yacine Aït-Sahalia y Jean Jacod.
Horowitz
Sobre métodos semi y no paramétricos, el libro de Joel Horowitz es una primera estación de destino. Otras opciones son esta y esta. Yo complementaría estos temas con algo de identificación.
elements
Sobre aprendizaje automático, escribí hace unas semanas una entrada entera, con lo que no hace falta que repita las recomendaciones aquí, excepto recordar el libro principal, y una versión más sencilla también gratis en internet.
Poirier
Finalmente, dado que yo me dedico a la econometría bayesiana, los lectores me perdonarán si le dedico una buena parte de esta entrada a la misma. Dos libros que tiene un porrón de años pero que sigue siendo una preciosidad son An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics de Arnold Zellner e Intermediate Statistics and Econometrics: A Comparative Approach de Dale J. Poirier.
Geweke
El mejor libro es de John Geweke (yo usé sus notas de clase cuando tomé su clase en Minnesota hace ya demasiados años), aunque la notación es realmente compleja.
Frank
Y mi compañero y coautor Frank Schorfheide y un antiguo alumno de Penn, Ed Herbst tienen Bayesian Estimation of DSGE Models, recién salido del horno.
Rossi
Peter Rossi tiene tanto un libro sobre estadística en marketing (con Greg M. Allenby y Rob McCulloch) como otro sobre métodos no y semi-paramétricos en un contexto bayesiano.
Hidden
Para cerrar, en econometría bayesiana (aunque también en parte en clásica) es importante saber manejar modelos ocultos de Markov . Yo empleo Inference in Hidden Markov Models de Olivier CappéEric Moulines y Tobias Ryden.
Termino aquí para no extenderme en exceso. Si recuerdo algún libro más en estos temas, lo colgaré en los comentarios. En unas semanas completaré esta serie de guías con una tercera entrada sobre programación/métodos numéricos.


http://nadaesgratis.es/fernandez-villaverde/guia-para-aprender-metodos-cuantitativos-en-economia-ii

comentarios:

*Para estadística y repaso de probabilidad he utilizado el libro de Casella y Berger, especialmente los 6 primeros temas.
*Para regresión, coincido en que lo mejor son los 10 primeros temas de los apuntes de Hansen (que son simplemente estupendos: claros, didácticos y rigurosos). El tema 2 da una visión de la esperanza condicional que creo que es imprescindible leer.
*Para una visión un poco más geométrica de OLS es buen complemento el tema 2 del libro de Paul Ruud "An Introduction to Classical Econometric Theory".
*Posteriormente, para IV y GMM creo que es mejor pasarse al libro de Hayashi.
*Por último, he utilizado de forma ocasional como referencia tanto el Greene (que es infumable como lectura, pero estupendo cuando se tiene una duda muy concreta) como el libro de Davidson & MacKinnon: "Econometric Theory and Methods" (que me gusta bastante más).
Historia económica en general de España tengo el de Carreras/tafunell, que me parece que está bastante bien, pero me gustaría completarlo con algún otro de esos dos temas
http://www.casadellibro.com/libro-historia-economica-de-la-espana-contemporanea-1789-2009/9788498921243/1773758
Parte III del libro de Jehle y Reny, Strategic Behavior (Game Theory, Information Economics, Auctions and Mechanisms Design)
Series temporales: Jesús Gonzalo,http://www.eco.uc3m.es/~jgonzalo/
Curso opencourseware de la Carlos III está muy bien (obviamente los del MIT también)
Econometría de Stachurski http://johnstachurski.net/emet.html 
 Cointegración:Katarina Juselius: ¨ The Cointegrated VAR Model: Methodology and Applications¨. Contiene una muy buena explicación de los diferentes tipos de especificaciones para realizar el test de cointegración.
Cointegración:Helmut Lütkepohl
 Li and Racine, "Nonparametric Econometrics: Theory and Practice."
Desigualdad-Desarrollo-Politicas Publicas desigualdad, desarrollo o politicas publicas :Tony Atkinson:
Para dar clase de asset pricing (que suelo hacer a menudo) empleo:
La otra alternativa:
Otras recomendaciones de lectores del blog
Para teoría de la probabilidad a nivel de posgrado se puede bajar de la web el manuscrito casi terminado de Efe A. Ok, Probability Theory with Economic Applications. https://sites.google.com/a/nyu.edu/efeok/books#probability.
Otro libro más accesible, a mi modo de ver escrito de manera muy didáctica, es el de Santosh Venkatesh, (UPenn), The Theory of Probability: Explorations and Applications, Cambridge University Press, 2012. La segunda parte, "Foundations", introduce los conceptos usando teoría de la medida. https://www.amazon.com/s/ref=nb_sb_noss?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=Santosh+Venkatesh+Probability.
El profesor Venkatesh también tiene un curso sobre probabilidad (basado en la primera parte de su libro) en Coursera: https://www.mooc-list.com/course/probability-coursera
Una interesante introducción a las cadenas de Markov es el libro de Nicolas Privault, Understanding Markov Chains: Examples and Applications, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2013. https://www.amazon.com/Understanding-Markov-Chains-Applications-Undergraduate/dp/9814451509/ref=mt_paperback?_encoding=UTF8&me=
Para la parte de cálculo estocástico agregaría
Malliaris, A. G. (and Brock, W.), Stochastic Methods in Economics and Finance, Elsevier Science, North Holland, 1982. https://www.amazon.com/Stochastic-Methods-Economics-Advanced-Textbooks/dp/0444862013/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1486848816&sr=1-1&keywords=Malliaris+Stochastic
Un libro de posgrado que combina material de esta entrada y la anterior es el de Corbae, D., Stinchcombe, M. and Zeman, J. An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics, Princeton Universtiy Press, 2009. https://www.amazon.com/Introduction-Mathematical-Analysis-Economic-Econometrics/dp/0691118671/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1486854354&sr=8-1&keywords=Dean+Corbae
Finalmente, para tener a mano al estudiar econometría: Dhrymes, Phoebus. Mathematics for Econometrics, 4th edition, Springer, 2013. https://www.amazon.com/Mathematics-Econometrics-Phoebus-J-Dhrymes/dp/1461481449/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1486851519&sr=8-1&keywords=Mathematics+for+Econometrics