03 septiembre 2013

Cincuenta años de caos / Teoría del Caos en Economía

Cincuenta años de caos Anxo
Espero, querido lector, que el título no le haya asustado, aunque en la actual situación en que nos encontramos, tiene un aire agorero acongojante. Pero no, no va de eso. Me da un poco de vergüenza confesarlo, pero este post trata de algo muy importante, que debí haber escrito en enero (hablé del fin del mundo, que la verdad tampoco es moco de pavo), y que sólo ahora he recordado, al ver un artículo titulado Chaos at fifty (“El caos a los cincuenta”), de Adilson E. Motter y David K. Campbell. Y el caso es que el pasado enero se cumplieron 50 años de la publicación de un artículo titulado Deterministic nonperiodic flow(“Flujo determinista no periódico”), de Edward Norton Lorenz (1917-2008), que aparece en la foto estudiando sus simulaciones numéricas.
Tras ese inocente título se esconde uno de los mayores cambios de paradigma de la física, de la ciencia, y de nuestra manera de ver el mundo. Efectivamente, hasta esa época se creía que los sistemas dinámicos (aquellos que evolucionan en el tiempo) sólo podían tener tres tipos de comportamientos: tender a un estado estacionario(también llamado punto fijo) en el que dejan de modificarse; variar periódicamente, recuperando su comportamiento en un instante dado al cabo de un cierto período fijo y constante, o el llamado movimiento cuasiperiódico, que es la combinación de movimientos periódicos con períodos cuya relación no es un número racional, por lo que el sistema vuelve a ser casi como era cada cierto tiempo pero nunca exactamente. La verdad es que si uno lo piensa ingenuamente, no parece que vaya a haber otros tipos de evolución temporal, ¿no? ¿Cómo serían esos tipos adicionales?
Eso es lo que hace Lorenz en su trabajo: mostrarnos que hay un cuarto tipo de movimiento, que el llamó “no periódico” y que nosotros llamamos hoy “caótico“. Lorenz era un meteorólogo (y de hecho el artículo está publicado en Journal of Atmospheric Sciences) que estudiaba el flujo de convección en un fluido situado entre dos capas fijas a temperaturas distintas (convección de Rayleigh) como modelo de uno de los mecanismos básicos de la circulación atmosférica. Simplificando matemáticamente las ecuaciones de dicho fenómeno, obtuvo las hoy famosasecuaciones de Lorenz:
ecslorenz
Para esta discusión, no nos importa mucho qué representan las variables X, Y y Z, aparte de que describen la ya citada convección de manera muy estilizada. Como Lorenz no sabía resolverlas (ni nadie hasta hoy en día) lo que hizo fue integrarlas numéricamente con uno de los primeros ordenadores, y lo que vio fue esto:
grafica y
Lo que representa esta gráfica es la evolución temporal de la variable Y durante tres mil pasos temporales (mil en cada línea). Como vemos, estamos ante un tipo de evolución que sorprendió a Lorenz porque no encajaba en ninguna de las clasificaciones que conocía. Con los ordenadores de hoy en día, uno puede repetir este trabajo durante los pasos que quiera, y nunca encontrará que se repita algún patrón. Bienvenidos al mundo del caos (nombre que acuñaría unos años más tarde uno de los grandes pioneros de esta línea de investigación, Jim Yorke).
Con todo, lo importante no es que el movimiento no sea ni siquiera cuasiperiódico. Lorenz se dio cuenta de que pasaba algo muy extraño, y así lo escribió en el abstract del artículo: “(…) se encuentra que las soluciones no periódicas son normalmente inestables bajo pequeñas modificaciones, de manera que estados iniciales ligeramente distintos pueden evolucionar hasta convertirse en considerablemente diferentes.” Esto es lo que técnicamente llamamos “dependencia exponencial de las condiciones iniciales” y popularmente ha acabado siendo conocido como “el efecto mariposa” (debido a una conferencia que, cuando su trabajo empezó a ser reconocido tras años de dormir en los estantes de  las bibliotecas, el propio Lorenz pronunció en 1972 ante la AAAS bajo el título “Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?” (“¿Origina el aleteo de una mariposa en Brasil un tornado en Texas?”). Aquí he de decir, antes de que alguien me corrija en los comentarios, que ya Poincaré había anticipado este fenómeno en 1909, sin llegar a dar ejemplos como el que ahora presentaba Lorenz.
Para ilustrar esto, voy a utilizar un sistema más sencillo que el de Lorenz: la ecuación logística o de Verhulst, un modelo extraordinariamente sencillo del crecimiento de una población limitada por la necesidad de un recurso. En 1976, el biólogo teórico Robert May (hoy Lord May of Oxford) publicó un artículo, también muy apropiadamente titulado “Simple mathematical models with very complicated dynamics” (“Modelos matemáticos sencillos con dinámicas muy complicadas”) en el que mostraba que esta aparentemente sencilla recursión
latex-image-1
también daba lugar a secuencias de números x que no se repetían ni caían en ciclos (salvo para algunas excepciones en las que el primer número de la recursión se elige expresamente), es decir, al equivalente discreto del movimiento caótico. Y, como tal, exhibe también esa dependencia de las condiciones iniciales, cómo pone de manifiesto el siguiente ejemplo:
trayectorias
En la tabla se recogen dos recursiones generadas a partir de la ecuación de arriba, partiendo de los valores que se indican para t=0 (t, o el número de iteración, se recoge en la primera columna), y que se diferencian sólo en la décima cifra decimal. Así, vemos que en la iteración 14, la diferencia está ya en la quinta cifra decimal, y en la iteración 29, ¡todas las cifras son distintas! Para que esto no quede en números, le dejo también una muestra de las gráficas que estudiaba tan atentamente Lorenz:
klimate_kaos1
Aquí, en esta “inestabilidad”, que decía Lorenz, radica el gran cambio de paradigma que supuso la teoría del caos. Recordemos que hasta este momento, la idea dominante en la física era la del “universo mecánico” (“clockwork universe“), que había sintetizado Laplace cuando en 1820 escribió aquello de que “(…)si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para someter los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos.” (De nuevo, antes de que me corrijan en los comentarios, este determinismo se había roto ya con la aparición a principios del siglo XX de lamecánica cuántica, pero todo el mundo daba por hecho que la indeterminación cuántica se limitaba al mundo submicroscópico y que no tenía ningún impacto en nuestra vida cotidiana). Pero claro, nosotros no somos ese intelecto perfecto del que habla Laplace, y conocemos el estado actual del universo con cierto margen de error, que proviene de nuestra ineptitud, o denuestros aparatos de medida. Volviendo al ejemplo anterior, si nos hemos equivocado en la décima cifra decimal de nuestro dato inicial, al cabo de tan sólo 33 iteraciones no somos capaces ni siquiera de decir si nuestro sistema va a estar a la izquierda o la derecha de 1/2. Fíjese, querido lector, que ya no hablo de intentar predecir el número exacto, sino simplemente ¡si está a un lado o a otro! Lo haríamos igual de bien echándolo a cara o cruz…
Es muy importante que observemos que en esto del caos no hay nada aleatorio. Absolutamente nada. Las ecuaciones son puramente deterministas, y si siempre les metemos el mismo dato, producen el mismo resultado como respuesta. Es más, ni siquiera estoy diciendo que sea imposible predecir: a corto plazo, las trayectorias del sistema no se ven muy afectadas por el error inicial. Si en el ejemplo, para mis propósitos, me bastase tener cinco cifras correctas, puedo predecir bien 13 pasos temporales. Ningún problema; no hay nada mágico en la ley de la evolución. Lo que está pasando es que como el dato inicial no se conoce con precisión infinita, sólo podremos saber qué le va a pasar al sistema durante una cierta ventana temporal, ventana que aumentará cuanto mejor conozcamos el punto de partida, claro, pero que nunca será infinita.
¿Le suena esto de algo? Sí, seguro que sí, y a Lorenz también: a las predicciones meteorológicas, que era lo que él estudiaba. Traduzco de las conclusiones de su artículo: “Cuando nuestros resultados sobre la inestabilidad del flujo no periódico se aplican a la atmósfera, que es ostensiblemente no periódica, indican que la predicción de un futuro suficientemente lejano es imposible por ningún método, a no ser que las condiciones actuales se conozcan exactamente.” Así de claro. Aunque uno conozca perfectamente las leyes físicas que rigen la dinámica atmosférica, nunca, nunca, nunca podrá predecir el tiempo (que no el clima, aviso para negacionistas del cambio climático, que no es la misma cosa) más allá de un cierto intervalo. Intervalo que hoy en día, después de elaborar modelos muy completos y mejorar la precisión con la que medimos las condiciones atmosféricas, llega a dos o tres días.
La cosa está, querido lector, en que este paradigma de la impredecibilidad determinista es muy general. El caos aparece en la mayoría de los sistemas físicos, ya que lo que se necesita para su aparición es muy poco: que el sistema sea no lineal: es decir, que la evolución de las magnitudes de interés no sea simplemente proporcional a ellas mismas, sino que tenga términos cruzados, o potencias, como los términos XY y XZ en las ecuaciones de Lorenz o el x cuadrado de la ecuación logística. Esto, para bien o para mal, es la regla, no la excepción. De aquí la importancia del descubrimiento de Lorenz. No hablamos sólo de predecir el tiempo, sino de predecir en general. Y eso afecta también a la evolución de la economía, claro, que se rige habitualmente por ecuaciones no lineales; pero de la historia del caos en la economía, de lo que puede aportar y ha aportado hasta ahora, hablará Jesús Fernández Villaverde (mucho más autorizado que yo para ello, dónde va a parar) en un post que aparecerá el próximo 23 de julio. Cuánto vayamos a poder predecir de las magnitudes que nos interesan dependerá de las ecuaciones que las rijan y de lo bien que sepamos cómo estamos ahora. En todo caso, a partir del trabajo de Lorenz, siempre tendremos que tener presente que nunca podremos predecir la economía, o el tiempo, o la trayectoria de la Tierra, o lo que sea, en un futuro arbitrariamente lejano. Je suis désolé, monsieur Laplace, c’est la vie.

Como Anxo narraba en este blog hace unos días la historia de la aparición de la teoría del caos, los editores me han pedido que yo aporte unas breves líneas sobre como tales contribuciones han influido en la teoría económica moderna.
He aceptado de manera un tanto reticente por dos razones. La primera es que, aunque he leído algo sobre el tema (sobre todo durante el doctorado), no soy ni mucho menos un experto y por tanto mis valoraciones pueden sufrir de un serio sesgo. La segunda es que Michele Boldrin, nuestro compañero y a veces jefe en FEDEA, ha sido uno de los economistas que ha realizado aportaciones más importantes en el área (si alguno mira el clásico de Mitchell Waldrop, 1993, le verá aparecer en unas cuantas páginas) y por tanto me arriesgo más que nunca a dejar claras las carencias de mi conocimiento del tema. Una vez advertido el lector de estas debilidades de la entrada, comienzo.
Como explicaba Anxo, la teoría del caos es especialmente atractiva pues ilustra la existencia de un nuevo tipo de comportamiento de los sistemas dinámicos: el movimiento caótico. Muchos economistas recibieron este nuevo comportamiento con ilusión. Por ejemplo, la macroeconomía estudia las fluctuaciones de la economía a lo largo del tiempo. Estas fluctuaciones nos dicen que la economía agregada ni es un sistema que tienda a un estado estacionario (pues obviamente las fluctuaciones son constantes) ni a un movimiento periódico o cuasiperiódico (pues los ciclos económicos se parecen los unos a los otros pero con mucha heterogeneidad entre los mismos).
Dada la sospecha de que la economía está llena de no-linealidades y bucles de refuerzo, la teoría del caos sugería que si éramos capaces de construir un modelo económico que implicase que la economía agregada tenía un comportamiento caótico, ese modelo podría ser una mejor explicación de las fluctuaciones agregadas y, quizás, un instrumento más poderoso para guiar la política económica. Esta promesa era particularmente atractiva porque permitiría eliminar (o al menos disminuir) el papel que los shocks exógenos tienen en los modelos económicos desde las contribuciones de FrischSlutsky y Tinbergen y que siempre han dejado a la mayoría de nosotros al menos un tanto intranquilos por su carácter ad hoc sin que se supiera dar una mejor alternativa a pesar de los muchos y meritorios esfuerzos de investigadores como GoodwinHicksKaldor.
Aquí es importante que me detenga por unas líneas en explicar a que me refiero con un modelo. Al contrario que otras áreas de investigación, buena parte de los economistas no encuentran que especificar un mero modelo estadístico de los datos sea el objetivo final de nuestros esfuerzos. Un modelo estadístico es útil para organizar la evidencia empírica, para emplearlo como un mecanismo de evaluación y para la predicción, pero su uso para “entender” las fluctuaciones es limitado porque, por ejemplo, solemos considerar que incluso una estructura estadística que se ajusta bien a los datos observados no será “invariante” a los posibles cambios de política económica. Este es un punto que siempre me ha costado explicar a amigos que vienen de las ciencias naturales pero que es crucial: el electrón no va a cambiar de comportamiento en nuestro experimento HOY si resulta que hemos decidido que mañana cerramos el laboratorio, un agente económico cambiara HOY su comportamiento si cree que la política económica cambiará mañana (e independientemente de si al llegar mañana la política económica efectivamente cambie o no).
La consecuencia de este argumento es que la investigación en economía en teoría del caos no buscaba (o al menos no buscaba principalmente) una nueva “especificación” de una serie temporal. Buscaba, al contrario, una estructura (preferencias de los agentes económicos, tecnología a la que estos tienen acceso, flujo de la información) que implicase que la economía generaba, en equilibrio, fluctuaciones caóticas. Aquí de nuevo hay que enfatizar que en economía empleamos la palabra “equilibrio” en sentido diferente que en ciencias naturales (motivo por el que yo he siempre sugerido, medio en broma medio en serio, que los economistas empecemos a utilizar una palabra distinta). En vez de referirnos a un punto fijo o estacionario de un sistema dinámico, “equilibrio” en economía es una condición en la que los agentes se comportan de acuerdo con las reglas que el modelo especifica para ellos, normalmente una maximización de sus preferencias (aunque pueden ser otras reglas, como en los modelos de racionalidad limitada), y donde estos comportamientos son consistentes, por ejemplo, que el número de coches vendido es igual al número de coches comprados; el equilibrio puede implicar cualquier estructura arbitraria de comportamiento temporal.
Este programa de investigación sobre el caos en economía experimento importantes avances a finales de los años 80 y principios de los 90 (muy bien resumidos en este libro) pero luego fue perdiendo fuelle.
Varias razones contribuyeron a esta disminución del interés en el campo. La primera fue que la evidencia econométrica de que las series temporales observadas presentan un comportamiento caótico es débil. En particular, el contraste más conocido en la literatura, conocido como elcontraste BDS, propuesto por Brock, Dechert, Scheinkman y LeBaron en 1996 (por cierto, Scheinkman es el director de tesis de Tano Santos y esta es una de sus muchísimas contribuciones) sugiere la existencia de comportamientos no-lineales en las series temporales pero no que este sea claramente caótico (sí, estoy siendo impreciso, porque esto es un contraste frecuentista, no un método bayesiano). Existen muchas otras maneras de generar no-linealidades que explican los datos probablemente mejor. Juan Rubio y yo hemos trabajado, sin ir más lejos, en una sencilla alternativa: la volatilidad estocástica, básicamente, un sistema dinámico donde la varianza condicional de los datos es una variable aleatoria. La volatilidad estocástica genera “colas gordas” (y con ello desviaciones muy importantes con respecto a una distribución gaussiana) y dependencias altamente no-lineales de una manera elegante y con muy pocos parámetros sin tenernos que meter en líos de fractales ni cosas similares.
El segundo es que los modelos con comportamiento caótico no terminaban de funcionar particularmente bien cuando se enfrentaban a los datos. Cuando estos modelos se calibraban o estimaban estructuralmente no reproducían la evolución de los datos mejor que lo hacían otros modelos más convencionales y muy a menudo lo hacían peor. Esto no tendría que ser una dificultad insalvable: algo similar ocurrió con las primeras generaciones de modelos de equilibrio general dinámico a finales de los 70 y principios de los 80. Sin embargo, en este caso muchos investigadores “sentían” que estos modelos terminarían ajustándose mucho mejor (como ocurrió a partir de los 90, cuando la nueva generación de estos modelos comenzó a ajustar los datos mucho mejor que sus rivales) mientras que ese “sentimiento” no existía con los modelos caóticos. Aunque nunca sabremos que hubiese ocurrido si hubiésemos perseverado en estos modelos con más interés; toda línea de investigación esta basada, en parte, en intuiciones acerca de sus frutos finales. Esto es algo muy complejo de transmitir al que nunca se ha sentado en frente del ordenador y se ha dado cabezazos con un código de simulación, pero de alguna manera un tanto extraña uno “sabe” si esto, al final, va a o no a funcionar. Sencillamente, una buena parte de los economistas que habían invertido mucho esfuerzo y tiempo en estos modelos quedó un tanto desilusionada.
Finalmente, muchos de los investigadores asociados a la teoría del caos, sobre todos aquellos mas vinculados al Sante Fe Institue, fueron cambiando sus intereses hacia una clase más general de modelos de teoría de la complejidad, sobre los que también podríamos hablar otro día.
Este resultado es interesante porque fue en contra de un sesgo de la profesión: tirar siempre (o casi siempre) hacia las técnicas matemáticas más complicadas. Este sesgo tiene un origen sencillo: el estudiante de 25 años tiene una ventaja comparativa en aprender análisis funcional o álgebra topológica, no en escribir una introducción a un paper que sea particularmente interesante. Lo primero requiere tiempo y la frescura de la juventud (algo que escasea entre los economistas más “seniors”), lo segundo requiere experiencia. Y como al final los que empujan siempre son los más jóvenes, normalmente nos tiramos por el sendero de las mates.
Hoy en día existen muy buenos investigadores trabajando en teoría del caos (como se demuestra en este libro que Cars Hommes acaba de publicar) y sistemas caóticos surgen en ciertas situaciones relativamente comunes (como en los modelos de búsqueda y emparejamiento) pero creo no ser injusto con esta área si defiendo que el papel del caos en el edificio de la teoría económica es en estos momentos menor. Esto no quita, en absoluto, a que mañana o dentro de cinco años, algún estudiante listo en un sótano de alguna universidad encuentre una nueva aplicación de la teoría del caos que la vuelva a poner en la cabeza del pelotón. Sería una alegría pues significaría que hemos aprendido algo nuevo y eso, a fin de cuentas, es para lo que estamos.
ww.fedeablogs.net/economia/?p=31908
http://demonstrations.wolfram.com/LinearCongruentialGenerators/
"Lo que realmente hace el caos es generar espontáneamente azar en modelos deterministas. No es que el modelo no sea determinista (lo es, como bien hasa aclarado), sino que las predicciones ya no lo pueden serlo. La manera de predecir con ecuaciones caóticas es estudiar cómo se transforman intervalos enteros, no condiciones iniciales aisladas. Eso lleva a que al final uno acaba teniendo una distribución de probabilidad que le dice cuál es la probabilidad de que, en un instante dado, su trayectoria esté en un cierto intervalo (en el mapa de Lorenz podría ser cuál es la probabilidad de que la trayectoria quede por encima o por debajo de 1/2). Las ecuaciones resultantes para la evolución de esas distribuciones de probabilidad son también deterministas, pero a diferencia de las trayectorias, las distribuciones de probabilidad son perfectamente predecibles. Y es por este motivo que ahora vemos la predicción del tiempo como “probabilidad de lluvia 70%”. Es decir, no podemos predecir trayectorias, pero sí distribuciones de probabildad, cuyo comportamiento asintótico puede ser muy estable (las del mapa logístico o el de Lorenz lo son, como bien sabes). Por eso se trata de un gran cambio de paradigma, en mi opinión (y por razones parecidas) comparable al de la mecánica cuántica." Jose C
Keynes intento formular, sin demasiado exito (como el mismo reconocio) una teoria de la probabilidad basada en creencias subjetivas sobre probabilidades y que implicaba que estas podian cambiar relativamente rapido y por tanto generar fluctuaciones en la demanda agregada. Despues de muchos años de lucha (que Skideslky refleja muy bien en su biografia) y de muchas desilusiones, dejo de trabajar en el area y su discusion del tema en la Teoria General es heuristica.
Una buena lectura es “An attempt at reading Keynes’ Treatise on Probability” de Christian P. Robert (http://arxiv.org/abs/1003.5544). Robert es quizas uno de los estadisticos mas importantes hoy en el mundo. "Jose F.V
El origen del celebre “efecto mariposa” como lo describe el propio Lorenz en un libro publicado por Ed Debate (La Esencia del Caos,1995) tuvo un origen “0scuro”.Al parecer iba a dar en el año 1972 una conferencia en el congreso de la AAAS en Washington DC en la que el ejemplo que el solía utilizar era el aleteo de una gaviota. Sin embargo el presidente de la sesión -Philip Meriles- no pudo contrastar el titulo de la conferencia y puso mariposa en vez de gaviota. La conferencia se titulaba “Predecibilidad. El aleteo de una mariposa en Brasil ¿originó un tornado en Texas?”. Entonces no se publico. Solo años más tarde la incluyo como Apéndice I en el libro que cito (versión inglesa The Essence of Chaos, 
University
 of Washington Press 1993)
divulgación sobre el caos es “Chaos”, de James Gleick (hay una traducción reciente).
“documental matemático sobre sistemas dinámicos, el efecto mariposa y la teoría del caos para todos los públicos” .
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14700&directory=67