03 julio 2013

Una lección de Física Estadística : Luis Cosin

Una lección de Física Estadística

1. Estadística de Maxwell-Boltzmann


Con el nombre de “ley” o “estadística” de Maxwell-Boltzmann se conoce un resultado demáxima importancia en física teórica y que, como veremos, puede ser aplicado a realidades económicas y sociales.

Es uno de esos ejemplos de ciencia “elegante”, ya que partiendo de unas pocas hipótesisllega a conclusiones sorprendentes, por poco intuitivas y, además, verificables experimentalmente.

Empecemos por describirla en su marco natural: la física de partículas.


2. Microestados y macroestados de un sistema


Imaginemos un sistema compuesto por N partículas indistinguibles unas de otras como pueden ser, por ejemplo, las moléculas de un gas.





Supongamos que estas partículas se reparten en niveles de energía discretos que llamaremos E0, E1 ... En ... En todo momento, cada una de las partículas ocupa alguno de los niveles (y varias partículas pueden ocupar el mismo nivel).



Para cada nivel Ei llamaremos ni al número de partículas en dicho nivel en un instante dado.

  • cada posible distribución de las N partículas en los distintos niveles lo llamaremos un microestado.

  • Agruparemos todos los posibles microestados que comparten el mismo número de partículas en cada nivel en un macroestado. Es decir, un macroestado es una disposición de cantidades de partículas en los niveles energéticos n0 ... ni ...Todos los microestados asociados a un mismo macroestado tienen igual número de partículas en cada nivel energético.

Un macroestado es algo observable (basta con contar las partículas en cada nivel) mientras que un microestado no lo es (ya que las partículas son indistinguibles unas de otras).

Por ejemplo, en el gráfico siguiente, que representa el caso de 3 moléculas en un sistema con energía total 3, existen:

  • 10 microestados posibles
  • y 3 macroestados posibles (cada una de las filas)

Notar que la suma de energías de todos ellos es 3:



La energía asociada a un microestado particular será entonces la suma de las energías de cada partícula:

E = Σi ni · Ei

El símbolo Σ se lee “suma” y la expresión anterior es la suma de todos los productos ni · Ei(número de partículas en cada nivel por la energía de cada nivel).


3. Hipótesis básicas


Para que la estadística de Maxwell-Boltzmann sea aplicable a un sistema, tendremos que hacer 3 hipótesis muy sencillas:

  1. El número de partículas, ni, en cada nivel de energía Ei es elevado.

  1. El sistema es aislado, es decir, no intercambia energía ni materia con el exterior. Entonces, son constantes:

E = Σi ni · Ei

N = Σi ni

  1. Las partículas del sistema realizan entre ellas intercambios de energía aleatorios, de suma cero y sin una preferencia determinada, es decir, todos los microestados con una energía total E son equiprobables.

Bajo estas tres sencillas condiciones, el macroestado más probable (es decir, aquél que tiene un mayor número de microestados posibles) corresponde a una distribución exponencial inversa.

ni = R · exp( -βEi )

Si la representamos con la energía en abscisas (horizontal) y el número de partículas en ordenadas (vertical) obtenemos el siguiente gráfico:



Es decir, el número de partículas en un nivel disminuye rápidamente a medida que aumenta Ei.

  • El factor β mide cuán rápido desciende la población de los niveles al aumentar Ei. A mayor valor de β, menor número de partículas de alta energía.

  • Y el factor de proporcionalidad R se ajusta para que se cumpla la restricciónsobre el número total de partículas N.

La deducción es bastante sencilla y puede verse en el anexo.

Si además asumimos que hay muchos niveles y están muy juntos unos de otros y espaciados regularmente, entonces:

β = 1 / kT

Con la energía media de las partículas, que no es otra cosa que la temperatura del sistema, y k la constante de Boltzmann (que depende de las unidades en las que se mida la temperatura y la energía).

A mayor temperatura, por tanto, menor es el valor absoluto de β y mayor la dispersión (más partículas en los niveles altos de energía).

Más aún, se demuestra fácilmente (ver anexo) que la entropía del sistema, S, es entonces:

S = k ln(M)

Con M el número de microestados posibles. Es decir, la entropía es una medida del “desorden” del sistema. A mayor número de microestados posibles, M, mayor entropía, S.

Esta observación fue hecha por primera vez por Boltzmann.


4. Y esto ¿qué tiene que ver con la economía?

Las 3 hipótesis que necesita la estadística de Maxwell-Boltzmann son muy básicas y es fácil pensar en otros entornos donde se cumplen con suficiente aproximación, no sólo en la física de partículas.

Existe controversia sobre si esta estadística puede ser aplicada a las ciencias sociales. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".

Debemos asumir entonces que, si en un entorno se cumplen las hipótesis, las conclusiones son aplicables a dicho entorno.

Si en la discusión anterior, sustituimos “partículas” por “individuos” y “energía” por “riqueza”, las tres hipótesis se convierten en:

  1. El número de individuos, ni, en cada nivel de riqueza Ei es elevado.

  1. El sistema es aislado, es decir, no intercambia riqueza ni indivíduos con el exterior.

  1. Los individuos del sistema realizan entre ellos intercambios de riqueza aleatorios, de suma cero y sin una preferencia determinada.

Estamos hablando, pues, de un “mercado no regulado” o “mercado natural” (distinguir de “libre mercado”).

En estas tres hipótesis, la estadística de Maxwell-Boltzmann nos dice que necesariamente la distribución de la riqueza más probable es exponencial inversa.

Es decir, en forma de la clásica pirámide de renta puntiaguda.

ni = R · exp( -βEi )

Y si el número de niveles es alto, el coeficiente es β = 1 / kT con T la riqueza media.

Conclusión 1: En mercados no regulados y con intercambios aleatorios de suma cero, la riqueza tiende a distribuirse de forma piramidal, más puntiaguda (es decir, más desigual) cuanto mayor sea la riqueza media (o “temperatura”).




Empíricamente, y como aproximación, suele hablarse de “Leyes de Pareto”. Por ejemplo,“el 20% de los individuos controla el 80% de los recursos y viceversa”.


5. Bueno, pero hemos asumido que no hay intercambios con el exterior...

Si mantenemos el número de partículas constante, cuando un sistema recibe una cantidad de calor q, aumenta la energía interna, y por tanto la energía media o temperatura, T.

En el equilibrio predicho por la estadística de Boltzmann:

β = 1 / kT

disminuye al aumentar T y, por tanto, aumenta la dispersión. De nuevo, si sustituimos “energía” por “riqueza”, y sin ánimo de ser polémico:

Conclusión 2: En mercados no regulados con intercambios aleatorios de suma cero, cuando se produce un aumento de la riqueza media, los segmentos más ricos perciben aumentos mayores de su patrimonio (tanto en términos absolutos como proporcionales) que los menos ricos.



En el fondo, es la clásica observación que todos podemos haber hecho alguna vez: en ausencia de mecanismos de redistribución, a pesar que la riqueza aumente, los patrimonios más bajos crecen más despacio en términos proporcionales y absolutos, que los más altos.


6. ¿Y el crecimiento? ¿y la movilidad social?

Cuando un sistema recibe una cantidad de calor q a una temperatura T, sin variar el número de partículas, su entropía (“desorden interno”) aumenta en:

Δ S = q/T = kqβ

A medida que la temperatura va aumentando, los incrementos de entropía que produce la misma cantidad de energía q son cada vez menores (β va disminuyendo).

Si asimilamos “entropía” (que es movilidad de partículas entre niveles) a “movilidad social”:

Conclusión 3: En mercados no regulados con intercambios aleatorios de suma cero, a medida que la riqueza aumenta, el efecto de incremento de la movilidad social asociado a ese incremento de la riqueza disponible es cada vez menor (de hecho, es inversamente proporcional a la riqueza media).




Referencias:







ANEXO: DEDUCCIÓN DE LA ESTADÍSTICA DE MAXWELL-BOLTZMANN


Para quien esté interesado, damos a continuación la justificación de los argumentos expuestos más arriba.

A.1. Deducción de la estadística de Maxwell-Boltzmann


Dentro de un nivel Ei con ni partículas, puede haber ni! posibles disposiciones de las mismas,donde ni! se llama factorial de ni y es una forma abreviada de escribir:

ni! = ni · (ni – 1) · (n- 2) · ... · 2 · 1

Esto fácil de entender:

  • elegimos la primera partícula de la permutación entre las ni posibles,
  • la siguiente habrá que elegirla entre las ni – 1 restantes,
  • ... y así sucesivamente hasta que las agotamos todas.

Se dice que ni! es el número de posibles permutaciones de las ni partículas dentro del nivel Ei.

Si tenemos N partículas distribuidas con ni en cada nivel Ei, el número total M de microestados (permutaciones de los partículas) que no alteran la disposición en niveles será entonces:

M(n1 ... ni ...) = n1! · ... · ni! · ... = Πi ni!

Donde Π simboliza “producto”. Es decir, es el producto de los factoriales de los ni.

Para simplificar los cálculos con factoriales (que son bastante farragosos), usaremos logaritmos. Los logaritmos tienen la propiedad interesante de transformar multiplicaciones en sumas y potencias en multiplicaciones.

ln (a · b) = ln(a) + ln(b)
ln( ab ) = b · ln(a)

La función inversa del logaritmo es la exponencial: ln( exp(a) ) = a.

Haremos uso de la aproximación de Stirling para el logaritmo natural del factorial de números grandes:

ln(n!) ≅ n ( ln(n) – 1 ) para n grande
Como la función logarítmica es convexa, da igual maximizar una función f que su logaritmo, ln(f).

Tomamos entonces logaritmos en la expresión de M y usamos la aproximación de Stirling:

ln(M) = ln( Πi ni! ) = Σi ln(ni Σi ni ( ln(ni) – 1 )

Queremos determinar el máximo de la expresión anterior, sujeto a las restricciones:

F = Σi ni – N = 0
G = Σi ni · Ei – E = 0

Aplicamos entonces el teorema del máximo: Existen multiplicadores α y β > 0 de modo que se cumplen las siguientes igualdades entre derivadas parciales:

ln(M)/n) = - α ·F/ni ) – β ·G/ni )

Es decir, sustituyendo:

( ln(ni) – 1 ) + 1 = - α ·( 1 ) – β ·( Ei )

Despejando:

ni = exp( -α -βEi ) = exp( -α ) · exp( -βEi ) = R · exp( -βEi )

Es decir, la distribución con mayor número de microestados (la más probable), es exponencial inversa.

Es decir, R y β se eligen de modo que se cumplan las dos restricciones sobre energía y número de partículas del sistema:

N = Σi ni = Σi R exp( -βEi ) = R · Σexp( -βE)

E = Σi Ei ni = ΣEi·R·exp( -βE) = R · ΣEi exp( -βE)

Si despejamos R en la primera expresión:

R = N / Σexp( -βE)

Y la sustituimos en la segunda, obtenemos la ecuación que debe cumplir el parámetro β en función de N y E:

· Σexp( -βE) = N · ΣEi exp( -βE)

O bien, reordenando y dividiendo por N:

Σ( E/N – Ei ) exp( -βE) = 0


A.2. Interpretación estadística de la temperatura

El cociente E/N = t es la energía media por partícula, que podemos llamar “temperatura absoluta”.

Entonces:


Σ( t – Ei ) exp( -βE) = 0

De donde deducimos que β no depende del número de partículas, sino sólo de su energía media T y de la distribución de niveles de energía Ei.

Un caso especial interesante se da cuando hay muchos niveles y están muy juntos, espaciados regularmente.

Si asumimos que:

Ei = e·i

Donde e es el “salto cuántico” de un nivel energético al siguiente, entonces:

0 = Σ(t – ei) exp( -βei ) = t Σexp( -βe )i – e Σi exp( -βe )i

Que son dos sumas de potencias y se pueden expresar analíticamente (ver la nota más abajo):

0 = t (1 - exp( -βe ))-1 – e (1 - exp( -βe ))-2

Multiplicando ambos términos por (1 - exp( -βe ))2:

0 = t (1 - exp( -βe )) – e

Obtenemos una expresión para β en función de t y e. Despejando β:

β = -e-1 · ln(1 - e/t)

Como e es muy pequeño comparado con t (asumimos que hay muchos niveles y una cantidad de energía apreciable en el sistema), tenemos:

β = -e-1 · ln(1 - e/t)  -e-1 ·(- e/t) = 1/t

Habitualmente, la temperatura no se mide como “energía media por partícula”, sino en una escala proporcional a ella, como es por ejemplo la escala Kelvin.

En este caso, t = kT con T la temperatura en la escala habitual y la constante de proporcionalidad, k, se denomina constante de Boltzmann.

Se trata de una constante fundamental en física. Para la escala Kelvin, tiene el siguiente valor determinado empíricamente:

k = 1,3806504 · 10-23 J/K (Julios/Kelvin)


Nota: Sea:

f(x) = Σi≥0 xi

Entonces:

x f(x) = Σi≥0 xi+1 = Σi≥1 xi

Restando ambas igualdades:

f(x) – x f(x) = 1

Es decir

Σi≥0 xi = f(x) = (1-x)-1

Derivando respecto de x:

Σi≥0 i xi = f’(x) = (1-x)-2


A.3. Interpretación estadística de la entropía


Supongamos que tenemos un sistema con N partículas distribuidas en un macroestado entre los diferentes niveles Ei.

El logaritmo del número de microestados compatibles con el macroestado será:

ln(M)  Σi ni ( ln(ni) – 1 )

Si aportamos al sistema una cantidad positiva pequeña de energía:

e = Es - Er (r < s)

De modo que una de sus partículas la capture y “salte” del nivel Er al Es, el nuevo valor de ln(M) será:

ln(M’)  Σi≠r,s ni ( ln(ni) – 1 )
+ ( nr – 1 )( ln(nr – 1) – 1 )
+ ( ns + 1 )( ln(ns + 1) – 1 )

Tanto nr como ns son muy grandes, por lo que ln(nr) ≅ ln(nr – 1), ln(ns) ≅ ln(ns + 1). Es decir:

ln(M’)  Σi ni ( ln(ni) – 1 ) – ( ln(nr) – 1 ) + ( ln(ns) – 1 )

Reordenando:

ln(M’)  ln(M) – ln(nr) + ln(ns)

Es decir:

Δ ln(M) = ln(M’) - ln(M) Δ ln(ns) - ln(nr)

Si asumimos que el sistema está en equilibrio en su estado más probable y R prácticamente no varía, entonces:

ns = R exp ( - Es/kT )
nr = R exp ( - Er/kT )

Y entonces:

Δ ln(M)  ( ln(R) – Es/kT ) – ( ln(R) – Er/kT ) = (Er – Es)/kT

Pero e = Es – Er es la energía aportada al sistema, por lo que:

Δ ln(M)  - e /kT = ΔS / k

Con Δ S = q/T el incremento de la entropía del sistema. Es decir:

ΔS = k · Δln(M)

O bien, ya que ambas, S y M, son variables de estado del sistema:

S = k ln(M)

Obtenemos una de las ecuaciones más famosas atribuídas a Boltzmann. La entropía es, mediando la constante de Boltzmann, proporcional al logaritmo del número de microestados posibles.

Es decir, la entropía es una medida del “desorden” del sistema.


Referencias: