Libor Market Model
Los
tipos de interés son la variable con diferencia más importante de todas
las finanzas. Hoy, después de mucho tiempo sin escribir hilos la
verdad, os voy a hablar del modelo rey de los mercados financieros para
modelizar tipos de interés.
Siempre se ha dicho que era y es uno de los interruptores mas importantes de la banca central
Los tipos de interés son la pieza de toque de todas las finanzas. Desde el mismo momento en que el precio de un activo puede verse como descuento de flujos, ya necesitamos definir eso del descuento. Necesitamos el interés (o los intereses. Y ya no hablemos de los instrumentos que tienen a los tipos de interés como principal subyacente, como puede ser el caso de los caps, floors o los mismos bonos. El mercado de renta fija es con diferencia el mercado financiero más grande que hay. De hecho, a los de rates se les suele conocer como fixed income,Y eso no es casualidad. El problema que tiene este subyacente es que es delicado como ninguno. No existe un único tipo de interés, existen muchos. Todos ellos pueden expresarse en forma de diferentes curvas, desde curvas de tipos a plazo (yield curves), las más famosas, hasta curvas forward o curvas cupón cero. En verdad la variable clave nunca es EL tipo de interés. El animal que tenemos que domesticar es la curva. Y la curva, a pesar de tener muchas variables (tantas como vértices o plazos), viene descrita por un número reducido de movimientos
Estos movimientos suponen shifts o desplazamientos de la curva, cambios en el pendiente o en la convexidad. Estos movimientos (también conocidos como componentes principales de la curva, pues salen del análisis PCA) mueven la curva con cierta coherencia. Controlar la curva permitirá tener bajo control el riesgo de la cartera de instrumentos financieros que tengamos, sean los que sean. Es la condición necesaria. Sin los tipos de interés no vamos a ningún lado. Esta es la razón por la que evidentemente este tema ha causado bastante interés en el mundo quant. Necesitamos modelos que nos permitan generar curvas de tipos de interés. Con fines prácticos y también para entender qué hay detrás de este fenómeno tan complejo. Tuvo que salir en nuestra ayuda el Cálculo Estocástico, pues sin él poco podemos hacer aquí.
Antes de que la industria empezara a implementar los modelos, la mayor parte de ellos nacieron en el ámbito académico. Y como sucede muchas veces, lo académico, salvo que se adapte, es inservible. O solo tiene aplicaciones teóricas.
De aquí sale la lucha entre los modelos normales y lognormales para tipos de interés, la lucha entre los modelos que permiten tipos de interés negativos y los que no, Bachelier contra una versión nueva de Black Scholes conocida como modelos de Black 76.
Salvo para construir otros modelos y para valorar instrumentos vanilla, no tienen un uso mayor, sobre todo para derivados exóticos. También surgió en estos años el modelo de Vasicek, el primer modelo que postulaba un cierto comportamiento de reversión a la media de los tipos de
interés. El modelo de Vasicek derivaría en el modelo rival del Libor Market Model, un modelo que se usa MUCHO a día de hoy. Se trata del modelo Hull White. Todos estos modelos, salvo el Hull White, eran modelos algo raros. ¿Por qué? Porque eran modelos que no te permitían introducir la curva observada en mercado como input, sino que eran modelos que sacaban su propia curva. Modelos endógenos, por abreviar. Y lo suyo es que nosotros, que tenemos acceso a la curva de mercado, podamos meterle esa curva como input. El modelo debe ser exógeno
Uno de estos modelos exógenos, el Heath Jarrow Morton, acabó transformándose en un modelo bastante versátil y muy (demasiado) artesanal. Un modelo que para dominarlo bien se necesita un estudio muy grande. Hay libros dedicados solo a este modelo. Y sí, es el Libor Market Model.
El Libor Market Model, a partir de ahora LMM, surge como referente en el campo de los modelos de mercado, esto es, modelos que no necesitan de calibración (supuestamente), sino que los parámetros necesarios se observan directamente en mercado. Digo supuestamente porque el LMM sí se calibra en algunos casos, como en el LMM markoviano, una forma de aplicar el LMM aprovechando la estructura de los árboles binomiales. El LMM tiene esa ventaja respecto al Hull White. El Hull White es paramétrico. Si quieres los parámetros, los calibras, pues en mercado no están. Como problemas tiene su gran minuciosidad técnica (casi trabajo de orfebrería si se quiere hacer bien) y que el LMM no es un modelo completo en el sentido que voy a comentar. Los tipos de interés, por si no fueran lo suficientemente puñeteros, tienen un problema: tienen una naturaleza dividida. Los tipos a corto van por un lado. Los tipos a largo van por otro. La causa de esto es muy técnica, pero para quien le interese. Quien no que la salte. En el marco Black se modelizan los tipos empleando el forward, que a su vez es martingala en sí mismo. Además, se modeliza el tipo forward swap de la misma forma, siguiendo un esquema lognormal, el esquema Black de toda la vida. El problema viene porque el tipo forward swap puede expresarse como media ponderada de tipos forward a plazo. Probabilísticamente nos encontramos aquí una contradicción, pues esta media ponderada de lognormales no es lognormal. Por tanto, el marco Black hace aguas aquí. Y con esto el LMM va a sufrir, pues al ser un modelo de mercado, necesita chupar las volatilidades de mercado, que son volatilidades Black.
De esta forma, el mundo de los caps y los floors, las opciones básicas sobre tipos de interés, como las calls y las puts para equity, se aleja del mundo de los swaptions. De esta forma, el LMM necesita un compañero para el largo plazo. El LMM no puede hacer esto solo
Aquí surge otro modelo, el Swap Market Model (SMM), que trata de llegar a donde el LMM no puede ser. Uno agarra el corto plazo y otro el largo plazo, como quien sujeta por dos cuerdas a dos caballos que quieren huir en dirección contraria.
El Libor Market Model va a atacar este asunto modelizando la curva forward de tipos de interés. Recordad que el tipo forward es el tipo que los mercado esperan que se fije en el futuro. Son expectativas sobre tipos futuros. No tipos de interés (hoy), tipos spot
Vamos a tener una curva forward, típicamente una Nelson Siegel, con esta forma de joroba. Son las predicciones que el mercado tiene hoy de cuáles serán los tipos futuros (por ejemplo, el tipo a tres meses que se fijará dentro de hoy un año). Esa curva la vemos hoy en mercado.
Todos esos forwards los evolucionamos por medio de un proceso de Itô. La idea es ver cómo evolucionan las expectativas de cuál será ese tipo trimestral, por ejemplo, a lo largo del año hasta que se acabe fijando. En ese momento, al estar ya fijo, será un tipo spot.
Este proceso de Itô se dice que sigue un modelo exponencial. Si nos quedamos con la parte que le aporta aleatoriedad al forward (la difusión), el comportamiento es típicamente lognormal. Pero cuidado porque tiene término de deriva. El forward ya no es martingala, a diferencia
de lo que ocurre en el modelo de Black Scholes. Pero en principio nos da igual. Esas derivas son necesarias porque en el LMM toman un papel muy relevante en el ajuste. Para garantizar que se cumpla la propiedad martingala, esas derivas se ajustarán, bien numérica o analíticamente. Las fórmulas se sacan con el Lema de Itô y son bastante infumables. La idea es evolucionar a todos estos forwards. La curva se irá moviendo. De esta forma, tenemos material para “predecir” cuál será la curva en el futuro de cara a valorar los flujos futuros del instrumento. Y le pongo comillas a predecir porque no se trata de una predicción exactamente. Es la extrapolación temporal de nuestra curva presente a futuro suponiendo que los parámetros de mercado se mantienen inalterados. Cosa que por otra parte tiene sentido, pues estoy valorando el instrumento hoy, no mañana. Lo relevante para la valoración hoy son las variables de mercado hoy. La dinámica del Swap Market Model es parecida, pero es más complicado. Básicamente por la interpretación más “oscura” de los tipos forward swap y por el proceso de ajuste de las derivas. El Libor Market Model, o modelo de Brace-Gatarek-Musiela, es una pieza de obligado estudio si uno quiere entender cómo funcionan los tipos de interés y sobre todo cuál es el comportamiento que espera de ellos el mercado
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