De cómo la cándida economía se entregó a las matemáticas [1]
Esta entrada es una colaboración de Luis Corchón, de la Universidad Carlos III de Madrid.
"... once we begin to uncover the real factors affecting the performance of the economic system, the complicated interrelations between them will clearly necessitate a mathematical treatment, as in the natural sciences"
Ronald Coase, 1992
En un principio era Adán
... Adán Smith... pero no, en realidad todo comenzó mucho antes cuando un mallorquín, Ramon Llull, empezó a estudiar los sistemas de votación adelantándose 500 años a Condorcet y Borda...
Como muchos saben, nuestro Adán forjó su sistema sobre un postulado, a saber, que la productividad depende de la división del trabajo, que por algo es la primera frase del capítulo 1. ¿Prueba? En la página siguiente dice "Yo he visto una pequeña manufactura..." y describe cómo ahí se dividía el trabajo [2]. Y para rematar "En cualquier otro arte o manufactura los efectos de la división del trabajo son similares al pequeño ejemplo anterior". Para continuar con afirmaciones sobre la productividad del campo en Inglaterra, Francia y Polonia que no contienen ni un solo dato. Como no lo hay en su libro III, una especie de interpretación económica de la historia avant la lettre en donde el libre comercio es el prota bueno de la peli mientras que las únicas cifras (sobre el tonelaje de una pesquería) se relegan a un apéndice del libro IV.
Motivado por la obra del anterior, David Ricardo, descansando de sus rentables andanzas como especulador, mostró cómo dos países pueden comerciar ventajosamente incluso si uno de ellos es mejor que el otro en la producción de todas las mercancías. Y aquí viene su famoso ejemplo numérico en el que Portugal tiene ventaja absoluta sobre Inglaterra en la producción de paño y vino, pero el comercio aumenta la producción de ambos países [3]. Después de algún otro ejemplo, la materia se da por demostrada en general.
Carlos Marx se empeña en probar que la acumulación se produce principalmente en capital físico y no genera plusvalía. Para ello recurre a otro ejemplo numérico con el capital variable y el constante. Debe registrarse que Marx emplea muchos más ejemplos numéricos que sus antecesores y presenta bastantes estadísticas. Hay en su libro un intento serio de dotar de un elemento cuantitativo a sus razonamientos teóricos que, desgraciadamente, no se transmitió a sus seguidores.
Pasamos revista ahora a Staley Jevons que explica la paradoja del agua y los diamantes [4] que tantos dolores de cabeza produjo a los economistas clásicos. Usa un gráfico en el que comenta que "la utilidad de último incremento es pequeña". Se supone que esa intuición es general y que con ella podemos desentrañar el siempre lioso tema de la demanda de mercancías. A todo esto, gráficos y matemáticas relativamente avanzadas ya habían sido usados por dos genuinos representantes de la economía moderna empotrados en el siglo XIX, Cournot y Dupuit, que pusieron los fundamentos de las teorías del oligopolio y el análisis coste beneficio.
Otro de los fundadores de la economía neoclásica es Leon Walras que intenta unir todos los retazos en una tela consistente, el equilibrio general. Y usa muchos símbolos y ecuaciones. E inmediatamente surge la pregunta: ¿tendrán todas esas ecuaciones solución? Y razona "Las ecuaciones de materias primas y dinero constituyen un conjunto de 3m+2s+3 ecuaciones apto para determinar las 3m+2s+3 incógnitas" y así sucesivamente. En su descargo cabe señalar que el instrumento matemático para resolver este problema no existió hasta que en 1941 el padre de la que sería uno de los críticos literarios más influyentes del stage NY, Michiko Kakutani, generalizó el teorema del punto fijo de Brouwer (1910) [5].
En los años 20, gracias en buena parte a ese liante llamado Marshall, la profesión se enzarzó en la controversia de los rendimientos crecientes. Ya Cournot había resuelto el problema a saber, que costes marginales decrecientes y competencia perfecta eran incompatibles, lo cual venía a poner en solfa a las curvas de oferta decrecientes del británico a no ser que se postulasen economías de escala externas a la empresa e internas al mercado... pero tales economías se mostraron tan elusivas como el Tigre de Tasmania... Mientras tanto un genio llamado Frank Plumpton Ramsey había puesto las bases de las modernas teorías del crecimiento, la imposición y la interpretación subjetiva de la probabilidad. Murió a los 26 años. Por cierto, que, en 1927, el ingeniero Carlos de Orduña (padre del director cinematográfico) publicaba unas estimables Lecciones de Economía Matemática en las que, un año antes que los interfectos, presentaba una función de producción Cobb-Douglas ya propuesta por Walras y otros.
Y así llegamos a uno de los libros más famosos de economía del siglo XX La Teoría General escrito por otro habilidoso especulador que, a diferencia de muchos de sus antecesores, tenía educación matemática. Desgraciadamente a pesar de que ese libro contiene alguna ecuación y algún gráfico, el resultado es que, aún hoy, se siguen escribiendo artículos sobre lo que Keynes quiso decir realmente...
Después de la lluvia
... en la adecuada metáfora de Max Ernst, mucho capital humano europeo huyó al nuevo mundo. Aquellos con inquietudes de construir una gran ciencia social, se agruparon en Chicago y Princeton. Los primeros formaban parte de la Cowles Comission como Samuelson, Arrow, Koopmans y Hurwicz mientras que los segundos lo hacían alrededor de la universidad y el recientemente creado Institute for Advance Studies e incluían a uno de los grandes genios del siglo XX, John von Neumann así como una plétora de prometedores estudiantes como Nash, Shapley y Gale, hábilmente tutoreados por Tucker que unió su nombre a otro estudiante, Kuhn, en un paper que hizo fortuna en nuestra comunidad [6]. Los vimos en Una Mente Maravillosa.
Todas esas personas tenían un bagaje científico. Muchos eran matemáticos. Y al estudiar economía se dieron cuenta de que consistía en una colección de historietas, algunas muy fascinantes, pero que, en sí mismas, eran incapaces de fundamentar nada sólido. Y aquí señoras y señores empieza la economía de verdad. Con los teoremas de Arrow, Debreu y McKenzie, este último otro brillante estudiante de Princeton, aprendimos las condiciones bajo las cuales el sistema pergeñado por Walras tiene solución. Y cuándo el mercado es eficiente. Samuelson reescribió en forma matemática en un solo volumen todo lo que se había aprendido en teoría del consumo, producción, estabilidad y bienestar. Y mientras Arrow ofrecía su teorema de (im)posibilidad que aclaraba las controversias entre Condorcet y Borda, e inauguraba un nuevo campo, el de la Elección Social, Nash y Shapley ponían las bases de la teoría de juegos que estudia las situaciones de interdependencia, básicas para campos que fueron surgiendo como Organización Industrial, Diseño de Mecanismos, Teoría de las Contiendas, Economía Política, etc. Mincer, con su famosa ecuación, ponía las bases de la Economía del Trabajo y del Capital Humano, que tanto aprovecharon a Becker, North abría horizontes cuantitativos a la historia económica y apuntaba a las instituciones, de donde Acemoglu sacó petróleo y Solow escribía su modelo de crecimiento. Esto tenía que acabar como acabó, con estimaciones del PIB en tiempos de los romanos e incluso más allá, put the blame on Maddison, pero este enfoque nos ha dado una impresionante perspectiva sobre las andanzas de la humanidad que del neolítico a la revolución industrial hizo poca cosa...
La lista pergeñada en el párrafo previo, sería inacabable (añádanse la Economía de la Educación, de la Salud, Pública, Regional, Finanzas...). Todo lo que tiene que recordar el lector es que cuando le digan que la economía se dedica a estudiar mercados perfectos tiene que contestar "No sabes de lo que estás hablando". Y a los que dudan de la fecundidad del árbol matemático ponerles de ejemplo todos sus frutos y decirles "cuando estás escribiendo que las matemáticas no captan el elemento cualitativo, tu ordenador está traduciendo eso a una serie de ceros y unos. Imagínate lo que se puede hacer cuando hay más números". Y un último consejo. Acostúmbrate a pedir cifras que sustenten las afirmaciones. Cuando se afirma que "nuestro país es muy ineficiente implementando los programas públicos" o "el capitalismo ha multiplicado el número de pobres" exige que te den números como se hace en estas páginas web:
https://transitcosts.com/ https://www.usc.gal/economet/reviews/aeid1111.pdf https://ourworldindata.org/extreme-poverty
Por cierto, ambas afirmaciones son falsas...
Coda final
He dejado varios temas importantes fuera de estas notas, a saber, que las mates no santifican modelos sofisticados pero vacíos de sensatez, el papel de los modelos teóricos en el trabajo aplicado, la cruenta lucha que en los años 50 libraron partidarios y contrarios a usar bulldozers matemáticos en nuestras investigaciones, así como una explicación de los principales resultados de las ramas de nuestra disciplina que han usado matemáticas y como setenta y seis más... Pero como dijo un filósofo, eso son otras historias...
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[1]Deseo expresar mi agradecimiento a Salvador Barberá, Carmen Beviá, Antonio Cabrales, Félix Lobo, Ignacio Ortuño y Socorro Puy por sus consejos, que no siempre he seguido, pero que me han sido muy útiles en la elaboración de este trabajo. Todos los errores son míos.
[2]Parece que Smith (1776) copió punto por punto su ejemplo de los alfileres de la Enciclopedia de Diderot (1755)
Modelling the Pin Factory – The Origin of the Division of Labour Theory – Part 2
Otros autores que hablaron de la importancia de la división del trabajo incluyen a Turgot, Petty e Ibn-el-Khaldun un arábe de origen andalusí (1332-1406).
[3]Sin duda su ascendencia sefardita le sugirió poner a Portugal como más productiva que Inglaterra.
[4]A la vez que Menger y Walras...
[5]Responsable, entre otras cosas, de que los economistas escribamos los gráficos de oferta y demanda con los ejes cambiados...
[6]Sus condiciones, que aprendimos como Kuhn-Tucker, habían sido descubiertas 12 años antes por un matemático americano, Karush.
Economía y matemáticas (II). De cómo Shizuo Kakutani salvó a Adam Smith¹
"La respuesta de "sentido común" a la pregunta de .... ¿cómo se caracterizaría una economía motivada por la codicia y controlada por un gran número de agentes? sería, probablemente, el caos". Pero "hay una lista bastante impresionante de economistas, desde Adam Smith al presente, que han buscado probar que una economía descentralizada motivada por el auto interés y guiada por los precios es compatible con una disposición ordenada de los recursos económicos... y superior a una gran clase de sistemas alternativos"....
Arrow y Hahn, General Competitive Analysis. Holden Day, 1971 pp. vi y vii.
Arrow y Hanh
La oferta y la demanda en equilibrio parcial
La oferta y la demanda en equilibrio parcial es algo que todo el mundo entiende. Y mucha gente cree que sus propiedades son extrapolables a la economía en general y que con esto se puede entender cualquier problema económico. Spoiler. Pues no.
Todos somos familiares con el famoso gráfico.
Del que se sigue que existe un único equilibrio de mercado (con un precio de seis y dos unidades transaccionadas). Ese equilibrio es estable porque a un precio por encima de seis la oferta supera a la demanda y lo inverso ocurre cuando el precio es menor que seis. Además, movimientos de la oferta y la demanda tienen los efectos que la intuición sugiere.
El sistema en su conjunto
Si empezamos a pensar sobre el modelo anterior encontramos algunas cosas raras. Por ejemplo, ¿de dónde sale la renta con la que se compra ese bien? Y, si en el mundo hay una sola mercancía, ¿por qué se intercambia? Entonces comprendemos que, en realidad, el modelo anterior es una simplificación de un modelo en el que hay (por lo menos) dos mercancías. ¿Y qué pasa con el equilibrio en el mercado de la otra mercancía? Aquí viene en nuestra ayuda la ley de Walras que implica que, en un mundo con n mercados, si la oferta iguala a la demanda en n - 1 mercados, necesariamente el mercado restante está también en equilibrio.[2] Así que nuestro modelo anterior es un modelo de dos mercancías en el que el precio es el precio de esa mercancía relativo al de la otra mercancía (o relación de intercambio) y el equilibrio en ese mercado es suficiente para analizar el equilibrio de los dos mercados.
Haciendo alguna pirueta podemos interpretar el mercado de la figura como un mercado muy pequeño y el "otro mercado" como el resto de la economía. Pero el modelo anterior no es bueno si hay interacciones fuertes de ese mercado con otro, como en los mercados de energía o de alimentos. Y tampoco vale como una descripción del sistema económico porque la agregación de todos los demás mercados en uno es demasiada agregación. Resumiendo, el modelo de equilibrio parcial no es una buena guía para el análisis del sistema económico. Habremos de considerar modelos con más mercancías. Y eso hacemos.
Walras
Tres mercados... o más...
El bueno de Walras era consciente de que para analizar el sistema económico se necesitaban muchos mercados porque los sistemas económicos desde tiempos inmemoriales tienen muchísimas mercancías. Para ello amasó un porronazo de ecuaciones correspondientes a los mercados de bienes y de factores. Y las contó. Y como el número de precios relativos era igual al número de ecuaciones coligió que el sistema tenía, al menos, un equilibrio. Hoy casi cualquiera sabe que la igualdad entre el número de ecuaciones y el número de incógnitas no es ni condición necesaria ni suficiente de que un sistema de ecuaciones tenga una solución. Ejemplo, el sistema y = x + 3, x = y + 5 no tiene solución. ¿Qué podemos hacer?
Quiero remarcar que este problema no es una tecnicalidad. Si las ecuaciones que describen nuestro modelo de la economía no tienen solución, el modelo ES INCORRECTO. Y de él no puede extraerse conclusión válida alguna. Así, si suponemos que hay un número natural más grande que ninguno, llamémosle N, es fácil probar que tal número es uno (N ≥ N. N por hipótesis así que 0 ≥ N. (N-1) que implica N = 1 Tachannnnnn).
Ahora toca reflexionar ¿Por qué en el modelo de equilibrio parcial parece tan obvio que hay un equilibrio y que es único? Pues porque hemos pintado oferta y demanda astutamente de tal manera que para precios muy altos existe exceso de oferta y para precios bajos hay exceso de demanda. El teorema del valor intermedio nos garantiza que hay un precio para el que la oferta iguala a la demanda. Y ese teorema... ¿no vale en muchas dimensiones? Pues sí, pero no. Me explico.
El teorema del valor intermedio en n dimensiones se debe a Poincaré y Miranda y para nuestros nada siniestros propósitos puede enunciarse así:
Sean f1, f2, … fn funciones continuas de p1, p2, … pn cada una con rango en [0,1] y tales que, para todo i, cuando pi = 0, fi < 0 y cuando pi = 1, fi > 0.
Entonces hay unos p1, p2, …, pn tal que todas las fi = 0.
Interpretando los p como precios y las f como funciones de exceso de oferta, el teorema garantiza la existencia de unos precios tales que todos los mercados están en equilibrio. El problema son los supuestos.
La continuidad por ahora nos vale. Que el rango sea el intervalo cero uno es irrelevante. Cualquier otro intervalo (cerrado) nos serviría. Pero ¿por qué tiene que haber exceso de demanda de una mercancía cuando su precio es el mínimo sin importar cual sea el precio de los otros bienes? ¿Y si uno de esos precios es el salario de los consumidores de esa mercancía? En ese caso si ese salario es muy bajo la demanda de ese bien será cero. Y si esa mercancía no tiene utilidad alguna para sus poseedores estos la ofrecerán incluso si su precio es cero. En ese caso la función de oferta deja de ser univalorada (con un único valor en el rango para cualquier valor de los precios) para ser multivalorada. Glups! Y algunos de sus valores en el rango no cumplen los supuestos del teorema. Idénticas reflexiones se aplican a cuando el precio es el máximo. Pues puede ocurrir que los precios de los factores con los que se produce ese bien también sean máximos y sea imposible producir ese bien a beneficio no negativo.
Aún más canalla es el siguiente ejemplo:
Supongamos que existen una mercancía y un consumidor tales que ese consumidor tiene recursos iniciales sólo de esa mercancía, le gusta esa mercancía, pero no está interesado en el consumo de ninguna otra mercancía. Y hay otros consumidores que tienen recursos iniciales de esa mercancía, pero no están interesados en su consumo. Entonces no existe un equilibrio.
Prueba: Sea x la demanda de esa mercancía por parte de ese consumidor, w sus recursos iniciales de esa mercancía y W la oferta total de esa mercancía, mayor que w por hipótesis. Supongamos que hay un precio para el que ese mercado está en equilibrio p. Entonces la restricción presupuestaria de ese consumidor es px = pw. Nótese que p > 0 porque si no, ese consumidor demandaría cantidades arbitrariamente grandes de esa mercancía. Luego dividiendo la restricción presupuestaria por p, tenemos que x = w < W contradiciendo que el mercado está en equilibrio.
El ejemplo es, extremo, pero debe alertarnos para que no supongamos sin más que el equilibrio de mercado existe.
La solución... en el próximo capítulo...
[1]Agradezco a Carmen Beviá, Juan D. Moreno-Ternero y Jaume Sempere sus comentarios a una versión preliminar de este trabajo. Soy el único responsable de las opiniones aquí vertidas.
[2]La ley de Walras se prueba sumando las restricciones presupuestarias de todos los consumidores.
