DebtRank: Too Central a fallar? Redes financieras, la Reserva Federal y de Riesgo Sistémico
El riesgo sistémico, esto significa que el riesgo de impago de una gran parte del sistema financiero, depende de la red de exposiciones financieras entre las instituciones. Sin embargo, no existe una metodología ampliamente aceptada para determinar los nodos de importancia sistémica en una red. Para llenar este vacío, se introduce, DebtRank, una nueva medida de impacto sistémico inspirado en la retroalimentación centralidad. Como aplicación, se analiza un conjunto de datos nuevo y único en el USD 1,2 billón de emergencia FED préstamos programa a las instituciones financieras globales durante el período 2008-2010. Nos encontramos con que un grupo de 22 instituciones, que recibió la mayor parte de los fondos, formar un gráfico fuertemente conectado donde cada uno de los nodos se convierte en importancia sistémica en el pico de la crisis. Por otra parte, un defecto sistémico podría haber sido provocado incluso por pequeñas descargas dispersas. Los resultados sugieren que el debate sobre demasiado grandes para fracasar las instituciones deberían incluir la cuestión aún más grave de demasiado-central para quebrar.
Términos Asunto:
Las cifras de un vistazo
Resultados
Crédito concentración y la fragilidad
Comenzamos nuestro análisis del conjunto de datos (ver Métodos) de la suma de la deuda pendiente de pago a través de las instituciones, lo que representa la exposición total de la FED, es decir, su potencial de pérdida total en caso de incumplimiento de los prestatarios. Este número aumentó muy fuertemente en noviembre de 2008, hasta alrededor de US $ 1,2 billones, de donde, en los siguientes 12 meses, disminuyó de manera constante hasta miles de millones (unos fig. 1a ). Como una medida de la concentración de la cartera crediticia, se calcula el índice de Herfindahl, H , de las deudas pendientes de pago (ver Métodos).Como se muestra en la figura. 1 , H permanece alrededor de 0,05, lo que significa que, a pesar de la gran variación en el tamaño de la exposición, el número de prestatarios principales se mantuvo aproximadamente en torno a 20. Lo que no se mantienen constantes en el tiempo es la fragilidad de los deudores principales, que se define como la relación deuda-capital. El promedio ponderado, Φ ( t ), de la fragilidad, lo que refleja la fragilidad de los mayores prestatarios, muestra picos en correspondencia con los acontecimientos más importantes, como el caso de Bear Sterns (marzo de 2008) y la caída en el valor del mercado de valores como de marzo de 2009 ( la fig. 1b ). Cabe destacar que, cuando el riesgo de la FED aún ascendía a 900 miles de millones, la deuda de los prestatarios principales fue más de 6 veces mayor que su capitalización de mercado.
(A) Parcela en el tiempo de la exposición total de la FED (azul) y del índice de Herfindahl H de la cartera de crédito FED (en rojo). El número efectivo de prestatarios está dado por la inversa de H, que varía entre 10 y 30.(B) Parcela en el tiempo de la exposición total de la FED (azul) y de la fragilidad de la cartera de crédito FED (en rojo). Los picos corresponden a los eventos importantes de socorro. Por ejemplo, el rescate de Bear Sterns en marzo de 2008, las pérdidas de Citigroup grandes (USD 2,8 millardos) en octubre de 2008 y la caída del mercado de marzo de 2009. Tenga en cuenta que en esta foto se elimina gran pico en la fragilidad causada por el choque de Lehman y el defecto Brothers (para más detalles, véase el SI ).
Deuda distribución
El conjunto de datos proporciona una oportunidad única para estudiar la distribución de la deuda pendiente de pago a través de las instituciones y en el tiempo. Basándose en el comportamiento de la exposición total FED, se divide el intervalo de tiempo de los datos en 3 fases (ver leyenda fig. 2a ). En principio, se podría estudiar la evolución diaria de la distribución. En la práctica, en un solo día el número de instituciones con una deuda a la FED no siempre es lo suficientemente grande como para revelar su distribución subyacente.Para mejorar las estadísticas, juntamos los valores de deuda en intervalos de 30 días, después de la comprobación de la homogeneidad de las series de tiempo de la deuda dentro de los intervalos (véase también el cap. 2 de SI ). Como se muestra en el recuadro de la fig. 2a , elegimos diez intervalos tan representativos para que cada fase se cubre. Fig. 2a muestra la distribución acumulativa complementaria de la deuda pendiente, calculado en cada uno de los intervalos 30-día. Los valores de deuda se reajustarán por el total de la deuda a través de las instituciones. La hipótesis de que la distribución de la deuda a través de instituciones es una ley de potencia es rechazada por las pruebas estadísticas en todos los períodos (véase también la SI , Sec. 2,1). Esto contrasta con lo encontrado en estudios anteriores sobre la distribución de la deuda 9 , 14 , y más en general en diversos contextos económicos 15 , 16 . Sin embargo, aquí estamos en presencia de préstamos de emergencia para todas las empresas que no reúne los requisitos. Por tanto, es probable que las pequeñas instituciones no están suficientemente representados en este conjunto de datos y que existe también un límite máximo de los préstamos, lo que explicaría la desviación observada a partir de una ley de potencia (véase también el SI , sec. 2).
(A) Hemos dividido los datos en tres fases: (1) A partir de la crisis (desde agosto de 2007 hasta abril de 2008), donde la exposición de la FED está por debajo de US $ 20 mil millones; (2) Plateau (abril de 2008 hasta octubre de 2008) , cuando la exposición aumenta y se mantiene alrededor de 380 millones de dólares en tres meses, (3) de pico y declive (octubre de 2008 hasta abril de 2010), donde los picos de exposición en un corto espacio de tiempo y empieza a disminuir a un ritmo más lento, debido a un programa paralelo de compra de activos tóxicos (ver SI , Sección 3) Hemos elegido diez períodos representativos de 30 días, como se muestra en el recuadro. Para cada período, los valores de deuda a través de días se agruparon con el fin de aumentar las estadísticas (bajo el supuesto de que dichos datos son generados por el mismo proceso estocástico). La trama principal muestra las distribuciones empíricas complementarias acumulados de deuda pendiente de pago, calculados en cada uno de los 10 puntos. Para cada distribución, los valores de la deuda se reajustarán por el total de la deuda a través de las instituciones en ese período. Tenga en cuenta que la distribución dentro de la misma fase son similares. (B) La deuda de las 100 instituciones (por medio de la deuda) es representado como un mapa topográfico donde el color indica la deuda de cada institución como un porcentaje de su deuda máxima propio: del verde al amarillo, al rojo (respectivamente, 0 -30%, 30-70%, 70-100%). Las instituciones están ordenados por su fecha de alta, de la parte superior izquierda a la inferior: las instituciones que tienen un pico más temprano se encuentran en la esquina superior izquierda de la parcela.La cifra recuadro muestra un histograma contando cuántas instituciones estaban en su punto más alto de la deuda cada mes. Tenga en cuenta que en el peor de los casos casi 30 instituciones en donde en su nivel máximo de la deuda, al mismo tiempo, lo que indica un alto grado de sincronía.
Las pruebas estadísticas sugieren que la forma funcional de las distribuciones es el mismo en todos los períodos, y que sus parámetros son más similares dentro de la fase de un mismo mercado (véase también el SI , sec. 2). Esto se puede ver también en la figura 2 . un donde las curvas en el grupo azul y violeta juntos. Este es un hallazgo notable, sobre todo durante la tercera fase, ya que el monto total de la deuda a la FED varía en el tiempo por casi un orden de magnitud (de USD 1200 millones en enero de 2009 a menos de US $ 200 millones en octubre de 2009 ). Una explicación trivial del comportamiento de la escala sería que en cada punto en el tiempo la Fed presta a todas las entidades en la misma proporción y que sólo la cantidad total varía. El análisis del patrón de la deuda pendiente con el tiempo a través de las 100 principales deudores, que se muestra en la fig. 2b , descarta esta explicación. Encontramos que si bien cerca de 30 instituciones llegaron a su punto máximo respectivo de la deuda en el mismo período, muchos otros tenían sus meses pico más temprano o más tarde. Además, si bien para algunas instituciones de la deuda se redujo rápidamente, para otros se redujo lentamente. Dada la heterogeneidad entre los patrones de deuda ( Fig. 2b ), la similitud de las distribuciones de la deuda parece ser una propiedad emergente del sistema. Otra prueba de esta propiedad dispone de datos complementarios sobre el balance de la FED. Nos parece que la cantidad equivalente que se devolvió por las instituciones vuelve a aparecer en el balance FED como títulos respaldados por hipotecas (ver SI , fig. 1b ). Esto sugiere que a medida que los bancos comenzaron a pagar sus deudas, la FED empezó a comprarles los activos tóxicos que estuvieron en el origen de la crisis (más detalles en el SI , Sección 3).
Análisis de red
En una perspectiva de red, los nodos representan las instituciones, mientras que los bordes dirigidos representar relaciones crediticias ponderadas por el importe de la deuda pendiente. La red tiene una estructura simple (una estrella con el FED en el centro, véase también la SI , la fig. 2a -11a), aunque se sabe que estas instituciones financieras también tenía dependencias muchos entre sí. De hecho, es parte de la actividad normal de las empresas financieras para invertir en otras empresas mediante la utilización de diversos mecanismos de crédito 9 , 10 , 11 , 12 y mediante la adquisición de participaciones en el capital (aunque estas formas de inversión no puede considerarse equivalente). Lamentablemente, la información sobre el primer tipo de inversión no está disponible debido a cuestiones de confidencialidad, sobre todo porque se trata de empresas globales de distintos países. Sin embargo, el trabajo previo ha demostrado que la red de inversión de capital de las empresas transnacionales (ETN) tiene una estructura de pajarita con entidades financieras en el núcleo formando una estructura fuertemente conectado 3 .
Por lo tanto de acuerdo con el conjunto de datos alimentados con datos sobre las relaciones de inversión de capital al final de 2007 (es decir, al comienzo del tramo de descuento FED tiempo de la ventana de datos).A continuación, se centran en las 22 instituciones que recibieron, en promedio durante los 10 períodos, más de US $ 5 mil millones. Las instituciones prestatarias principales representaron, en el pico de la crisis, por un total de USD 804 mil millones de USD 1,2 billones de dólares de financiación. Curiosamente, todas estas instituciones resultan ser en el núcleo (es decir, el componente más fuertemente conectada) de la red TNC mencionado anteriormente. Por otra parte, la subred de estas 22 instituciones es en sí fuertemente conectada (que no tendría que ser verdad). Esto significa que cada una de las 22 instituciones de la red puede llegar a cualquier otro a través de un camino dirigido. La inmensa mayoría de los pares de nodos (99,1%) están a distancia 1 o 2 el uno del otro. La estructura es relativamente homogénea con una alta densidad de conexiones. El promedio de grados de salida y en grado-son, respectivamente, 12,1 ± 5,7 y 12,1 ± 3,2 (el medio debe coincidir aunque la red no es simétrica). La densidad de enlaces es 0,58. El análisis de k-núcleo produce un número de la base igual a 8 para todos los nodos excepto 3, con un promedio de 7,7. Este hallazgo sugiere, en la falta de información alternativa, a tomar como un indicador de las dependencias financieras entre las instituciones de la red de sus inversiones de capital de inversión, debidamente normalizado (ver Métodos).
DebtRank y las instituciones de importancia sistémica
Con el fin de estimar el impacto de un nodo a los demás, entonces introducir DebtRank, una medida inspirada en la novela de centralidad retroalimentación, que toma forma recursiva en cuenta el impacto de la angustia de un nodo inicial a través de toda la red. DebtRank del nodo i , denotado como R i , es un número de la medición de la fracción del valor económico total de la red que puede verse afectada por la angustia o la omisión del nodo i (ver Métodos). DebtRank se puede utilizar para construir una clasificación, pero no es en sí misma el rango del nodo. Su cálculo difiere de los métodos basados en el valor predeterminado cascada dinámica 11 , 12 , 17 en el que, por debajo del umbral se propaga ningún impacto a los vecinos 18(ver SI , Sección 3,1). Comentarios central mide 19 han encontrado aplicaciones exitosas en muchos ámbitos que van desde la clasificación en la World Wide Web (por ejemplo PageRank) de control de las empresas en redes económicas 3 . Comentarios centralidad tiene una analogía física con el flujo de entrada en un proceso de difusión no homogénea (véase SI , Sección 3,1). En presencia de un ciclo en la red hay un número infinito de reverberaciones del impacto de un nodo a los otros y volver a sí mismo, lo que conduce a ninguna interpretación económica simple y medible. DebtRank supera este problema permitiendo sólo para paseos que no visitan el borde mismo dos veces.
Se aplica el cálculo de DebtRank en la red de los 22 mejores prestatarios de la FED llevando a cabo dos experimentos. En el primero, para cada nodo i , se calcula DebtRank en el caso de su valor predeterminado (es decir, ψ i = 1, ver Métodos). Nótese que en la matriz de impacto utilizado por DebtRank tenemos en cuenta el nivel de capitalización de mercado de los nodos (ver Métodos), obteniendo así un conjunto de valores de R i en cada periodo. Los diagramas de la fig. 3 muestra la estructura de la red y permitir, al mismo tiempo, para comparar los valores de DebtRank de cualquier par de instituciones. Un valor alto de DebtRank corresponde a una ubicación más central del nodo. Por lo tanto, los términos "DebtRank" y "centralidad" se utilizan indistintamente en el texto siguiente. Como se puede ver en la figura, en el pico de la crisis todos los nodos se hizo más central, lo que significa que el valor predeterminado de cada uno de ellos podría causar una pérdida económica más grande en la red. Figura 4 muestra cómo la DebtRank en lugar de cada institución varía con su activo total en relación a la suma de los activos totales de la red. El color de las burbujas refleja la fragilidad de las instituciones (es decir, más deuda ratio de fondos propios).Se observa que hacia el pico de la crisis la mayoría de las instituciones tienen alto grado de fragilidad y además altos valores de DebtRank. Esto implica que cada banco era más probable que por defecto en sí mismo, y, por otra parte, que en caso de defecto, lo que provocaría una pérdida mayor. Nos encontramos con que incluso en un escenario conservador (por ejemplo, asumimos que en los primeros meses de 2008, cada banco tenía suficiente capital para soportar al núcleo en el valor predeterminado de 5 contrapartes, α = 0,2, ver también Métodos), la mayoría de las 22 instituciones se convierten en muy sistémicamente importante en el pico de la crisis ( Fig. 3b ). En el período 1, todas las instituciones tienen un DebtRank debajo de 0,25 con un valor medio de 0,08 ± 0,06 ( fig. 4a ) y no muy céntrico ( la fig. 3a ). Por el contrario, en el período 4 (promedio 0,52 ± 0,20), muchas instituciones son capaces, por sí solo, que afecta a más del 70% del valor total de la red ( la fig. 4b ), a pesar de que en términos de volumen de activos que representan menos del 10% del total.
Los nodos representan a las instituciones financieras (seleccionado como se explica en el texto). Enlaces salientes representan el impacto potencial estimado de una institución a otra (ver Métodos). Los nodos están colocados dentro de un círculo de radio 1, centrada en 0. La distancia de cada nodo del centro es 
, mientras que el ángulo aumenta linealmente con R ( D ) 0 a 10 π . Por lo tanto, cuanto más cerca de un nodo es el centro de la más alta es su DebtRank (la intuición aquí es su centralidad). Un nodo en el centro (DebtRank = 1) es capaz de poner bajo peligro todo el valor económico de la red. DebtRank disminuye moviendo hacia el exterior y hacia la izquierda a lo largo de la espiral. El diagrama permite al mismo tiempo para visualizar la estructura de la red y para comparar la importancia de cualesquiera dos nodos dados. El tamaño y el color del nodo refleja el valor DebtRank (nodos más grandes y tienen una mayor DebtRank rojo).El color de un enlace refleja la DebtRank del nodo del que se origina (enlaces rojos se originan desde el nodo con DebtRank alta y crea alto impacto a los nodos de destino). (A) de un período, en el inicio de la crisis (véase también el recuadro de la fig. 2a ). La mayoría de los nodos tienen bajos niveles de DebtRank, es decir, se encuentra cerca de la frontera. (B) período de cuatro (pico de la crisis). Los nodos tienen niveles comparables de Rango de la Deuda. Sin embargo, son también mucho más central, es decir, que pueden afectar a una gran fracción del valor económico total. Un defecto único pueda provocar una falla sistémica.
, mientras que el ángulo aumenta linealmente con R ( D ) 0 a 10 π . Por lo tanto, cuanto más cerca de un nodo es el centro de la más alta es su DebtRank (la intuición aquí es su centralidad). Un nodo en el centro (DebtRank = 1) es capaz de poner bajo peligro todo el valor económico de la red. DebtRank disminuye moviendo hacia el exterior y hacia la izquierda a lo largo de la espiral. El diagrama permite al mismo tiempo para visualizar la estructura de la red y para comparar la importancia de cualesquiera dos nodos dados. El tamaño y el color del nodo refleja el valor DebtRank (nodos más grandes y tienen una mayor DebtRank rojo).El color de un enlace refleja la DebtRank del nodo del que se origina (enlaces rojos se originan desde el nodo con DebtRank alta y crea alto impacto a los nodos de destino). (A) de un período, en el inicio de la crisis (véase también el recuadro de la fig. 2a ). La mayoría de los nodos tienen bajos niveles de DebtRank, es decir, se encuentra cerca de la frontera. (B) período de cuatro (pico de la crisis). Los nodos tienen niveles comparables de Rango de la Deuda. Sin embargo, son también mucho más central, es decir, que pueden afectar a una gran fracción del valor económico total. Un defecto único pueda provocar una falla sistémica.
Diagrama de dispersión de DebtRank versus tamaño del activo, medida como una fracción (en%) del total del tamaño de los activos en la red. En aras de la simplicidad, en el experimento, tamaño de los activos se supone constante durante el intervalo de tiempo de los datos. Tenga en cuenta que las entidades como UBS o CITIGROUP cuenta solo casi el 10% de los activos totales. El tamaño de cada burbuja es proporcional a la deuda pendiente de pago de la institución, mientras que el color refleja su fragilidad, que se define como la proporción de deuda sobre capitalización de mercado en el periodo indicado, como en la sección anterior. (A) Período de uno. Dado que la deuda era muy baja o nula, la mayoría de los nodos aparecerán pequeños y tienen niveles de DebtRank por debajo de 0,3, pero comparables entre sí. (B) Período de cuatro. Muchas instituciones tienen un Rango deuda más grande que 0,5, es decir, cada uno puede tener un impacto, solamente, la mayor parte del valor económico en la red. La deuda pendiente de pago en este período está cerca de la cima de todas las instituciones, como se refleja en el tamaño de las burbujas. Tenga en cuenta, también un mayor fragilidad, la mayoría de las burbujas son de color rojo, aunque con cierta heterogeneidad.
En el segundo experimento, se calcula DebtRank en la situación en la que ninguno de los nodos en los valores por defecto de la red al principio, pero todos están en el nivel ψ <1 ase="ase" de="de" font="font" m="m" nbsp="nbsp" socorro="socorro" todos="todos" v="v">Nos referimos a este caso como Grupo DebtRank. Encontramos que las perturbaciones iniciales siempre generan un mayor impacto que los propios shocks, incluso en los períodos anteriores a la cúspide de la crisis. Por ejemplo, con ψ = 0,1, es decir, una descarga inicial de 10%, la pérdida total varía a través de períodos de un mínimo de 22% hasta un máximo de 65% (véase el SI , Sección 3,6). Aviso, que el mecanismo difiere del contagio encontrado en propagación de la epidemia 20 procesos de contacto y otras.Aquí, el impacto de una institución i a otro, j , depende tanto de la exposición relativa de j a i y de la relación entre dicha exposición y el tampón de capital de i (ver Métodos). De ello se deduce que el impacto de isobre j puede ser más grande que la exposición relativa de j a i (la matriz de impacto no es estocástico columna). En efecto, las instituciones financieras, mediante la búsqueda de ganancias, tienden a ser altamente apalancados, es decir, contar con un capital pequeño en comparación con el total de activos.Esta es la forma en que el sistema puede terminar en una situación en la que una pequeña pérdida puede causar un defecto sistémico.
Es importante hacer hincapié en que hay más a DebtRank de tamaño. La correlación entre el tamaño de los activos y DebtRank es siempre inferior a 0,4 y disminuye hacia el pico de la crisis (véase el SI , Sección 3.7). También hemos comparado DebtRank con las medidas de la dinámica sistémica imault cascada y con dos centralidades de retroalimentación, incluyendo la centralidad vector propio clásico. En pocas palabras, todas las medidas difieren en el tiempo y en la magnitud de su respuesta. Aunque la clasificación proporcionada por las cuatro medidas son similares (lo que implica que estas medidas son compatibles entre sí), DebtRank es el único que ofrece una respuesta clara mucho antes del pico de la crisis (véase el SI, sec. 3,5). Esta característica lo convierte en un candidato mejor como un posible indicador de alerta temprana. Por otra parte, DebtRank tiene el significado preciso de la pérdida económica, medida en dólares, causado por la angustia o defecto de un nodo.
Métodos
Datos
Los datos se compone de series de tiempo diario de la deuda pendiente y la capitalización de mercado de 407 instituciones en un período de días que abarca 1.004 desde agosto de 2007 a junio 2010. La deuda pendiente se refiere aquí a la cantidad debida por una institución a la FED como resultado de los préstamos de emergencia concedidos por la Reserva Federal a través de la ventanilla de descuento llamada y varios programas de emergencia. Esto significa que se trata de préstamos para los cuales la FED era de prestamista de última instancia. El conjunto de datos analizado es la publicada por Bloomberg después de la consolidación de la base de datos original publicado por la FED. También hemos obtenido y analizado el conjunto de datos original (para más información, consulte SI Sección 1). Este dato es único ya que la información sobre este tipo de préstamos nunca se dieron a conocer antes. Además, se refieren a la fase crucial de la crisis financiera. Los datos sobre la inversión de capital se obtuvieron de la base de datos de Orbis Bureau Van Dijk y se analizaron en un estudio anterior 3 . Incluyen las acciones de capital de propiedad de una empresa en otro en el último trimestre de 2007.
Concentración de la cartera de crédito
El índice de Herfindahl es una medida común de la concentración de tamaño. En nuestro contexto, lo definimos como
donde d i ( t ) denota la deuda pendiente de pago del prestatario i en el tiempo t . Cuando la deuda se distribuye por igual entre n entidades, H = 1 / n . En contraste, cuando todas las instituciones, excepto uno, tienen cero deuda, entonces H = 1. Por lo tanto, el inverso de H es una medida del número de prestatarios más importantes. Por ejemplo, en el caso de 3 instituciones con valores de deuda igual a 0,8, 0,1, 0,1, el índice de Herfindhal es H = 0,8 2 0,1 + 2 + 0,1 2 = 0,66 y H -1 = 1,5.
Cuanto mayor sea la deuda (en relación con la capitalización de mercado de una institución), más débil es la institución, financieramente hablando. Así, la relación φ i ( t ) = d i / e i captura su fragilidad financiera en el tiempo t . La media ponderada siguiente da entonces una medida de la fragilidad de la cartera de crédito total FED:
El promedio ponderado de la deuda se asegura de que los valores de la fragilidad de las instituciones con mayor cantidad de deuda más.
DebtRank. Metodología
Introducimos una red dirigida en la que los nodos representan las instituciones y los enlaces representan las dependencias financieras. Nos indican el monto invertido por i en la financiación de j como A ij . Por lo tanto,A es la matriz de adyacencia ponderada de la red de inversión. El valor total de los activos invertidos por i en las actividades de financiación es A i = Σ l A il . Denotamos por S i la capital de i (más precisamente, el llamado "tier 1 capital"), que representa el margen de capital de i contra los choques 11 , 12 . Cuando E i ≤gamma los valores predeterminados de la empresa, donde γ es un umbral positivo. Más detalles sobre la estructura de la hoja de equilibrio en relación con una red financiera se puede encontrar en el trabajo anterior17 . Si el nodo i por defecto, el nodo j se enfrenta a una pérdida de un ji (que excluye, en el corto plazo, la recuperación de los activos invertidos en i ), y el nodo j defecto también si A ji > E j . Vamos a explicar más adelante para el caso del nodo j no incumplidora pero ir sólo en la angustia. Se define el impacto de i sobre jcomo W ij = min {1, A ji / E j }. Por lo tanto, si la pérdida excede de capital, el impacto es 1. Observe que la matriz W es, en general, ninguna de las columnas-estocástico ni fila estocásticos. Tenemos además tener en cuenta el valor económico del impacto de i sobre j multiplicando el impacto por el valor económico relativo del nodo j , v j = A j / Σ l A l (otros servidores proxy podía darse por v j ). El valor del impacto de i en sus vecinos es entonces I i = Σ j W ij v j . Se mide la fracción de valor económico en la red que está afectado por i directamente.
Ahora queremos tener en cuenta el impacto de i en sus sucesores indirectos, es decir, los nodos que se puede llegar desde i y están a una distancia de 2 o más. En analogía a la centralidad retroalimentación que podría definir el impacto en términos de la ecuación de recurrencia siguientes I i = Σ j W ij v j + beta sigma jW ij I j , donde las cuentas segundo plazo para el impacto indirecto a través de los vecinos. El parámetro β<1 amortiguaci="amortiguaci" de="de" es="es" factor="factor" font="font" n.="n." nbsp="nbsp" un="un">En notación vectorial, tenemos I = Wv + βWI , que produce
, siempre y cuando el valor propio más grande de W es menor que 1 / β .
, siempre y cuando el valor propio más grande de W es menor que 1 / β .
Uno de los resultados de la teoría de grafos es que en el poder k de la matriz adyacencia el elemento ijasciende a la cantidad de caminatas de longitud k desde i hasta j . En el caso de una matriz ponderada, lo que equivale a una suma en todos los ámbitos de la longitud k de i a j del producto de los pesos a lo largo de cada recorrido 15 . Paseos más largos contribuyen menos a la centralidad por el factor de amortiguaciónβ k . Sin embargo, si dos nodos i y j están conectados en un ciclo ( W ij > 0 y W ji > 0), el impacto del nodoi al j golpes atrás en i y mantiene bicicleta un número infinito de veces (aunque con amortiguación). Una sola reverberación del impacto de la i de nuevo a sí mismo es realista y aceptable matemáticamente.Reverberaciones Otros conducir en lugar de una inconsistencia ya que el impacto podría ser mayor que uno.La razón es que si el impacto camina su camino varias veces a través de un ciclo, entonces estamos contando el impacto de un nodo en otro más de una vez. El mismo problema se aplica también a cualquier ciclo que no implique i , pero situado aguas abajo de i en la red. Extracción de los ciclos por completo de la red y teniendo en cuenta su grafo acíclico correspondiente sería eliminar completamente la reverberación y cortar muchos enlaces, así fuertemente subestimando el impacto.
Por el contrario, en este trabajo, se propone el siguiente enfoque. Mantenemos la red, ya que es, pero se excluyen los ámbitos en los que uno o más bordes se repiten. Una manera conveniente de hacer esto (una condición suficiente) es introducir el siguiente proceso. A cada nodo se asocian dos variables de estado. h ies una variable continua con h i ∈ [0, 1]. En cambio, s i es una variable discreta con 3 estados posibles, undistressed, inactivos angustiado,: s i ∈ { U , D , I }. Denotando por S f el conjunto de nodos en peligro en el tiempo 1, las condiciones iniciales son: 
; 
, y 
;
. El parámetro ψ mide el nivel inicial de angustia: Psi ∈ [0, 1], con ψ = 1 defecto significado. La dinámica se define como sigue,
; , y ; . El parámetro ψ mide el nivel inicial de angustia: Psi ∈ [0, 1], con ψ = 1 defecto significado. La dinámica se define como sigue,
para todo i y para t > = 2, donde todas las variables h i se primera actualización en paralelo, seguido de actualización de la ONU en paralelo de todas las variables s i . Después de un número finito de pasos L la dinámica se detiene y todos los nodos de la red son ya sea en el estado de U o I . La intuición es que va a nodos en peligro cuando un predecesor acaba de ir en peligro y así recursivamente. La fracción de angustia reproducidos está dada por el impacto matriz W ij . Debido W ij ≤ 1 el más largo es el camino desde el nodo i inicialmente en angustia y nodo j , menor es el impacto indirecto en j . Observe que un nodo que va en el Destado, se moverá a la I estado un paso más adelante. Esto significa que si hay un ciclo de longitud 2 el nodo no será capaz de propagar impacto a su sucesor más de una vez. Esta condición satisface el requisito, mencionado anteriormente, de excluir a los paseos en las que se repite un borde. Una ilustración de un ejemplo sencillo se presenta en el SI , Sección 3.2.1.
El DebtRank del conjunto S f se define como
es decir, R mide la angustia inducida en el sistema, excluyendo la angustia inicial. Si S f es un nodo único de la DebtRank mide el impacto sistémico del nodo en la red. En este caso, es de interés para establecer ψ= 1 y para ver el impacto de un nodo de incumplimiento. Si S f es un conjunto de nodos que puede ser interesante para calcular el impacto de un choque pequeño en el grupo. En efecto, si bien es trivial que el incumplimiento de un grupo grande haría que la omisión de toda la red, no es trivial para anticipar el efecto de una angustia poco que actúa en todo el grupo.
DebtRank. La aplicación empírica
Los valores de las exposiciones de crédito son desconocidos. Sin embargo, los valores de las inversiones de cada nodo j en el capital de i , Z ji , están disponibles. A continuación, tomar como punto de partida para construir un proxy del impacto de nodo i . Nos normalizar sus valores, 
. Nosotros además reescalar ellos con respecto al máximo por medio de un factor de escala impacto , denotadas como alpha ≤ 1, 
. De esta manera, el máximo impacto en j través de los nodos l es igual a α . Por ejemplo, si α = 0,2, j puede soportar el defecto de 1/0.2 = 5 o más contrapartes antes de impago en sí: un escenario muy conservador. Observe que el valor α = 0,2 es la proporción promedio un ji / E i que se observó a finales de 2007 en la red interbancaria de Brasil, el único caso en que se publica esta información o accesibles 11 . Por lo tanto, también realizar los experimentos con α = 0,2. Se podría, por supuesto, investigar otros valores de α . Además, α también podría hacerse heterogénea. Por último, queremos explicar el hecho de que la capitalización de mercado de los principales prestatarios en el mercado bursátil se redujo significativamente en la primera mitad del período de tiempo de los datos. Hacemos esto ajustando la base de los efectos de un nodo en otra en consecuencia, con la restricción de que no exceda de una. La expresión final utilizada para el impacto es por lo tanto, 
.
. Nosotros además reescalar ellos con respecto al máximo por medio de un factor de escala impacto , denotadas como alpha ≤ 1, . De esta manera, el máximo impacto en j través de los nodos l es igual a α . Por ejemplo, si α = 0,2, j puede soportar el defecto de 1/0.2 = 5 o más contrapartes antes de impago en sí: un escenario muy conservador. Observe que el valor α = 0,2 es la proporción promedio un ji / E i que se observó a finales de 2007 en la red interbancaria de Brasil, el único caso en que se publica esta información o accesibles 11 . Por lo tanto, también realizar los experimentos con α = 0,2. Se podría, por supuesto, investigar otros valores de α . Además, α también podría hacerse heterogénea. Por último, queremos explicar el hecho de que la capitalización de mercado de los principales prestatarios en el mercado bursátil se redujo significativamente en la primera mitad del período de tiempo de los datos. Hacemos esto ajustando la base de los efectos de un nodo en otra en consecuencia, con la restricción de que no exceda de una. La expresión final utilizada para el impacto es por lo tanto, .Bow-tie
Una arquitectura de pajarita es un grafo dirigido que consiste en las siguientes partes. El núcleo es un componente fuertemente conectado (SCC). La IN consiste de todos los nodos que pueden llegar a la SCC directa o indirectamente a través de una o más rutas dirigidas. El OUT consta de todos los nodos que se puede llegar desde el SCC directa o indirectamente a través de uno o más camino dirigido. Los tubos y zarcillos (TT) comprenden todos los nodos que no están en el SCC y son bien accesible desde la IN o / y se puede llegar a la salida.
A medida que avanza el desmoronamiento de los métodos matemáticos
tradicionales utilizados por la economía marginalista, surgen nuevas propuestas
de cuantificación y análisis matemático.
Es el caso de la metodología que publican en la revista Nature
enviada por Ramón. Se presenta la evolución de
conjunto y no la tradicional descripción parcelaria de incidencia
de una variable sobre otra. Por el contrario se busca ver con el enfoque
complejo de sistemas cómo evoluciona el todo en su conjunto.
En el campo de la graficación
se sustituye el tradicional plano Cartesiano (Euclidiano) por nuevas formas de
gráficas que dan una visión general de la ubicación de las partes en el
todo. La
caracterización de las redes financieras, y en un contexto más amplio, de las
redes económicas ha cobrado una creciente importancia ante la necesidad de
explicar cómo se originan los procesos y se distribuyen en el tiempo y el
espacio, en el marco de una economía compleja.
El método DebtRank muestra una
mejor aproximación al riesgo sistémico del sistema financiero, a pesar de las
limitaciones de la información no disponible por la reserva bancaria. Sin
embargo muestra la fragilidad y el alto riesgo de la concentración de los
préstamos en pocos Bancos (Nodos) y los peligrosos efectos de retroalimentación
que pueden significar para el conjunto del sistema financiero. Es una
herramienta que permite dar un primer paso para trascender lo micro empresarial
para pasar a lo macro social, como lo busca la teoría económica compleja.
Saludos,
Yezid S.
http://www.nature.com/
Redes financieras, la Reserva Federal y de Riesgo Sistémico
http://barabasilab.com/pubs-econ.php
http://www.ticwisdom.com/?p=642
Econofisica-redes
http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/200707-17_Science-ProductSpace/200707-17_Science-ProductSpace.pdf
http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/downlPDF.html
http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/downlPDF.html
http://barabasilab.neu.edu/networksciencebook/download/network_science_Ch1_July_2012.pdf
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