Guía para aprender métodos cuantitativos en economía (I) J.Fernandez-Villaverde-B3

Guía para aprender métodos cuantitativos en economía (I)

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En una serie de tres entradas voy a presentar una breve guía de recomendaciones para aprender métodos cuantitativos en economía. Mi objetivo principal es que tal guía sea útil para aquellos estudiantes que sientan la necesidad de completar la escasa formación en esta área que ofrecen muchos de los planes de estudios de grado de las facultades de economía de España. Un objetivo secundario es que la guía pueda servir a terceras personas interesadas en estos temas, desde economistas que hace tiempo se dedican a otros menesteres a lectores de diversos campos del conocimiento.

Durante los últimos años me he encontrado a menudo con la petición de tal guía. Sin ir más lejos, la semana pasada y a raíz de mi entrada sobre aprendizaje automático, varios lectores dejaron comentarios indicando el interés por la misma. Es una labor que encaro con cierto temor pues es una tarea más compleja de lo que parece.

Primero, por el mero tamaño del empeño. En el espacio de una entrada en NeG no podré más que rascar la superficie de los múltiples temas a tratar y corro el peligro de confundir más que ayudar si no soy cuidadoso en mis recomendaciones.

Segundo, por la amplia variedad de libros y recursos existentes. Existen, por ejemplo, muchísimos más libros de calidad en análisis real que en macroeconomía. Mientras si uno quiere aprender, pongamos, teoría del crecimiento moderna, solo hay 3 o 4 libros que hace falta manejar, circulan en este momento un par de docenas de libros de análisis real muy buenos. Seleccionar uno u otro es más fruto de la experiencia personal (¿qué libro empleo yo?) que de la clara superioridad de un texto sobre los restantes. Pido por ello a los lectores especial cautela en valorar mis recomendaciones más lejos de lo que se merecen. Esta guía podría ser re-escrita con libros totalmente diferentes y ser mucho mejor.

Tercero, y quizás el motivo principal, porque aprender métodos cuantitativos es un reto si se ha de hacer solo. Si un estudiante quiere aprender, pongamos, historia económica mundial, la labor es más sencilla. Leyendo con cuidado una selección de 5 o 6 libros se puede llegar con cierta facilidad a un conocimiento más que adecuado del área, por ejemplo, para comenzar un programa de doctorado en este campo con garantías. Por supuesto que es mejor poderse sentar en la clase de algunos de los líderes de esta área y aprender directamente de ellos. Pero si las circunstancias impiden tal fortuna, el remedio de lectura cubre la situación con cierta solvencia. En comparación, sin nadie que le explique a uno las sutilezas de un teorema o cómo escribir una prueba correctamente, es mucho más difícil alcanzar la soltura y madurez matemática necesaria. Cuando miro mis propias clases a lo largo de mi carrera universitaria recuerdo como mucho más importantes a mis profesores de econometría señalándome una idea o la otra que a mis profesores de organización industrial haciendo lo mismo. Y no porque esta segunda área sea menos importante o mis profesores fueran peores, simplemente por el más alto porcentaje de valor añadido de las clases sobre el contenido total de la asignatura en econometría que en a organización industrial. Quizás por ello, no hay casi MOOCs suficientemente avanzados sobre temas cuantitativos.

Finalmente, tres “regla del juego”. Uno, mi lector objetivo es un economista, definido aquí como alguien que se dedica al estudio y aplicación de la economía, bien en una universidad o en una institución pública o privada. Excluyo por tanto a las personas dedicas a la dirección de empresa. El que en España se emplea la palabra “economista” para designar tanto a un economista en el FMI como a un gestor de una cartera de valores me parece un error. No porque la labor de este último carezca de mérito o utilidad social, sino porque son cosas diferentes y mezclarlas confunde y da lugar a errores. En mi universidad, Penn (como en muchísimas otras universidades), los estudios de economía y de dirección de empresa no están ni en la misma escuela (una escuela es más o menos equivalente a una facultad en España, aunque no exactamente): economía está en ciencias y letras y dirección de empresas en la escuela de negocios. Y aunque es indudable que hay relación entre los dos campos (yo mismo enseño en la escuela de negocios una clase), el que ambas áreas estén separadas funcionalmente nos sirve bien a ambos. Es por ello que mientras que los lectores interesados en la dirección de empresa pueden encontrar algo de utilidad en los siguientes párrafos, deben de buscar otras fuentes complementarias de información más directamente dirigidas a ellos. De igual manera, si el lector es un matemático puede sentirse enfadado por mi olvido de campos fundamentales de su ciencia. La explicación es que esta guía no es para formar a un matemático, es para un economista. Saber teoría de números puede ser precioso pero tiene poco empleo en economía (es por lo que he criticado el programa, por ejemplo, de doble grado de economía y matemáticas de la Complutense, que parece más una acumulación de asignaturas que una estructura de estudios racional con un objetivo concreto).

Dos, voy a citar libros en inglés. Ya en otras ocasiones he expresado mi escepticismo con muchos de los manuales escritos en español (o traducidos). Para todas aquellas áreas del conocimiento que sean internacionales (y el análisis real es el mismo en España, China o Kenia), la opción debería siempre emplear manuales de reconocido prestigio a nivel mundial y en inglés. Así nos ahorraríamos más de un disgusto en esta universidad española nuestra tan castiza.

Tres, voy a evitar (sin ser doctrinario) libros “matemáticas para economistas”. Esto es algo que aprendí de Leo Hurwicz en Minnesota. Uno tiene que leer libros de matemáticas escritos por matemáticos, que para eso saben del tema.

Después de estas advertencias, puedo comenzar. Hoy voy a cubrir el material que la daría a un estudiante de grado una excelente formación en matemáticas junto con ciertos temas más avanzados. Esta formación es el conocimiento necesario para afrontar con éxito el estudio de los temas tratados en las entradas posteriores de esta serie y más propiamente cuantitativos. En la segunda entrada cubriré probabilidad (incluida teoría de la medida), estadística y econometría. En la última entrada me centraré en informática (incluidos métodos numéricos). No cubriré en la serie, solo por delimitar el terreno a magnitudes más manejables, asignaturas eminentemente formales como teoría de juegos pero que son más propiamente de economía substantiva que de métodos puros. Quizás alguno de mis co-editores se anime a ello.

Cálculo

El cimiento de cualquier formación es conseguir un buen nivel de cálculo. Y, además, este ha de estar más centrado en la comprensión de los conceptos que en la capacidad de resolver rápidamente integrales o derivadas. Esto es debido tanto a que el cálculo será el fundamento de posteriores asignaturas como por la existencia de programas que solucionan muchas de las operaciones que anteriormente se hacían a mano. Mientras que alcanzar destreza en las meras manipulaciones es importante (contrario a lo que se afirma a veces, no creo que exista verdadera comprensión de un concepto hasta que se ha empleado repetidamente, muchas veces de manera mecánica), no tiene mucho sentido para un economista pasarse horas y horas completando largas listas de ejercicios de integrales como las que aparecen en muchos libros.

Un libro de texto muy común es Calculus (8th Edition) de James Stewart. Este otro sospechoso habitual es el que se da, por ejemplo, en el departamento de matemáticas de Penn. Ambos libros cubren desde los contenidos que anteriormente se daban en el bachillerato (funciones de una variable, introducción al cálculo diferencial e integral) hasta un tratamiento básico de ecuaciones diferenciales.

Yo siempre he preferido (y como se ve en la foto que acabo de sacar, son los dos volúmenes que tengo siempre a mano), la obra de Tom Apostol (que por cierto se murió hace unos meses), volumen 1 y 2. El Apostol es muy suyo (comienza con cálculo integral y luego continua con cálculo diferencial), pero es mucho más cuidadoso en la presentación del material y menos enfocado a “preparar para el examen”. Otro libro de cálculo riguroso es el Spivak, aunque este es puede ser más difícil de encontrar.

Trabajar bien estos libros es el equivalente de dos o tres semestres/cuatrimestre de clase según el nivel inicial de cada uno (los semestres/cuatrimestres en esta entrada son definidos como en muchas universidades españolas como 15 semanas de clases, que descontadas las fiestas, que viene a corresponder a unas 56 horas presenciales; en Penn, un semestre tiene 28 sesiones lectivas de 80 minutos más 14 sesiones de prácticas de 50 minutos, en ambos casos ya descontados los 10 minutos de cambiarse de clase).

El material de cálculo básico puede ser completado con un buen libro de ecuaciones diferenciales (este de Morris Tenenbaum y Harry Pollard es barato y a pesar de sus años cubre lo que uno tiene que saber) y otro de ecuaciones de diferencias (como este de Saber Elaydi). El material esencial se puede dar en un semestre adicional. Una clase en ecuaciones en derivadas parciales es menos importante para los economistas. De todas maneras un libro de texto standard sencillo es este.

Algebra

El segundo paso es aprender álgebra lineal y, además, hacerlo bien. Muchos libros y la mayoría de las clases sobre el tema machacan a los pobres estudiantes con matrices sin explicar nunca de verdad que es una matriz o un autovector. La solución es el precioso libro Linear Linear Algebra Done Right (Third Edition) de Sheldon Axler. El libro cubre con soltura un semestre de clase.

Algebra abstracta es menos importante en economía, pero ciertas partes de la misma (como las bases de Gröbner) aparecen a menudo en econometría y en macro. El libro que yo estudié en su día con Andy McLennan (en una edición anterior) es Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra (Fourth Edition) de David A Cox, John Little y Donal O'Shea.

Optimización

Los economistas nos pasamos la vida entera tomando condiciones de primer orden y resolviendo problemas de optimización. A First Course in Optimization Theory de Rangarajan K. Sundaram cubre de manera perfecta lo que uno tiene que saber.

Es un libro con más contenido de lo que parece y puede resultar forzado cubrirlo en un semestre, pero quizás con un cuidado en las selecciones, pueda encajar en 15 semanas de clase.

Análisis real

Entramos ahora en materias más avanzadas, que corresponderían bien con asignaturas optativas de tercer o cuarto año de grado o con asignaturas para una maestría.

La más importante de todas ellas, con muchísima diferencia, es análisis real. El libro que nosotros empleamos en Penn es Understanding Analysis de Stephen Abbott. Otros clásicos son el Rudin, el Apostol de análisis y, bien barato, el Kolmogorov-Fomin. El material requiere, casi con seguridad, dos semestres de estudio.

A los estudiantes que requieren más prácticas con los problemas de análisis, les suelo recomendar Problems in Real Analysis, Second Edition (2nd Edition), de Charalambos D. Aliprantis y Owen Burkinshaw, Problems in Mathematical Analysis I, II y III de W. J. Kaczor y M. T. Nowak, Berkeley Problems in Mathematics (3rd Edition) de Paulo Ney de Souza y Jorge-Nuno Silva y la colección de prelims de Princeton.

Métodos avanzados adicionales

Por si todo lo anterior fuera poco, existen muchos temas que se pueden tratar en más detalle. Sin ser enciclopédico, unas cuantas ideas son las siguientes.

Primero, teoría de conjuntos. The Joy of Sets de Keith Devlin es todavía el libro que veo más. Se puede completar con topología. Más avanzado es Topology from a Differentiable Point of View de John Milnor.

Un campo muy bonito y con utilidad en series temporales es análisis complejo. Complex Analysis de Joseph Bak y Donald J. Newman es una elección sensata para un semestre de introducción.

Quizás en grado de economía sea muy agresivo excepto para los más aventurados, pero saber algo de análisis funcional es muy util. Por ejemplo, Linear Functional Analysis de Bryan Rynne y M.A. Youngson. Para los que quieran estudiar este tema a nivel de maestría o doctorado, está el Rudin de Análisis Funcional y el de Lax.

Finalmente, un tratamiento extenso, desde análisis básico a funcional, harmónico y complejo aparece en las Princeton Lectures in Analysis. Yo tengo los cuatro volúmenes siempre en la oficina de casa por si acaso.

Sobre temas de dinámica caótica (y aunque yo he explicado en esta entrada mi relativamente escéptica posición al respecto), Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2nd Edition) de Steven H. Strogatz es una buena introducción.

En optimización, tenemos libros más avanzados, desde el clásico Convex Analysis de Tyrell Rockafellar al casi igual clásico blue book con el que han estudiado tantas generaciones de economistas en Minnesota y Chicago. Además, Dimitri Bertsekas tiene muchos de sus libros gratis en la red. En tiempo continuo, Foundations of Dynamic Economic Analysis: Optimal Control Theory and Applications de Michael R. Caputo no me emociona en exceso, pero es de lo más facil de seguir.

En algebra más avanzada, yo estudié en Minnesota dos trimestres con el libro de Serge Lang, aunque tengo que reconocer que no fue una secuencia que luego me haya servido de mucho en mi carrera.

Varios estudiantes de mi departamento que se dedican a la teoría pura estudian topología algebraica con este libro, pero yo no lo he empleado (ni conozco prácticamente nada del tema).

Un resumen

Si yo tuviese que diseñar un programa de grado de economía, dado los contenidos actuales del bachillerato, incluiría como asignaturas obligatorias de matemáticas (recuerdo, sin entrar todavía en probabilidad, estadística o econometría):

1) Tres semestres de cálculo.
2) Un semestre de algebra lineal.
3) Un semestre de ecuaciones diferenciales y en diferencias finitas.
4) Un semestre de optimización.

Como asignaturas optativas (en orden de prioridad):

1) Dos semestres de análisis real.
2) Un semestre de análisis complejo.
3) Un semestre de teoría de conjuntos/topología.
4) Un semestre de tópicos (dinámica avanzada, caos, algebra abstracta).

Todas estas asignaturas serían de 6 créditos ECTS. Estos seis semestres obligatorios de matemáticas y cinco optativos se pueden comparar con:

a) los dos semestres obligatorios más uno optativo, todos ellos con 6 créditos ECTS, que cuento en el programa de la Carlos 3 de Madrid,

b) los tres semestres obligatorios y medio optativo de la Complutense, todos ellos con 6 créditos ECTS

o,

c) el programa de economía de la Rey Juan Carlos I. Este programa tiene solo dos semestres obligatorios de matemáticas, además de 4.5 créditos ECTS en vez de 6 créditos (hay también un semestre de matemáticas financieras, pero ese no cuenta como métodos formales, es hacer números que además hacen mejor ahora los ordenadores). En esta universidad, en primer año, dan más créditos en deontología profesional, principios jurídicos básicos e igualdad (introducción al derecho) y sociología que en matemáticas (y que en cuarto año se den 6 créditos por otras actividades culturales, deportivas y varias no es quizás la mejor opción). Me parece que es un programa que debería ser rediseñado con urgencia.

En un programa de maestría o de primero de doctorado incluiría:

1) Dos semestres de análisis real.
2) Un semestre de optimización avanzada (quizás distribuido en otras materias, esto es como se hace en nuestro programa de doctorado en Penn).

Como optativas para un segundo año de doctorado:

1) Uno o dos semestre de análisis funcional.
2) Un semestre de tópicos (dinámica avanzada, caos, algebra abstracta).

En la siguiente entrada entraremos en probabilidad, estadística y econometría, que es con lo que yo torturo a los estudiantes en Penn y, este año para fastidiar más, también en Oxford

Comentarios en blogg

El verdadero poder de las matematicas no es permitirnos ver mas lejos, es mantenernos honestos. Sabes cuantas veces me ha pasado que hablado con coautores alrededor de una cerveza y desarrollar un modelo maravilloso de X y, luego, al sentarme con calma y formalizarlo resulta que no funciona? Las condiciones de primer orden son tozudas y no se doblegan a las trampas retoricas. Yo escribo bien y te aseguro que te podria meter decenas de veces el puñal por la espalda sin que te dieras cuenta si solo tuviese que emplear palabras. Es cuando tengo que escribir matematicas que no te puedo engañar (o es mucho mas dificil). Es por lo que los mediocres que escriben en la prensa digital no quieren emplear matematicas: porque sus argumentos se caerian uno detras de otro.

Que Cédric Villani o Stanislav Ulam no esten de acuerdo me trae al fresco. No son economistas y no entienden lo que hacemos. He visto a Cédric Villani hablar de macroeconomia y solo dijo bobadas. La division del trabajo intelectual es clave (es Adam Smith y los alfileres). Como te crees que Cédric Villani, por muy listo que sea, va a poder refutar en 5 minutos que le ha dedicado al tema a Chris Sims que lleva pensando 40 años en el mismo? No se quien es mas listo, Cédric Villani o Chris Sims, (aunque te aseguro que hablar con Chris Sims es de las cosas que mas miedo me da en la vida y eso que es un autentico caballero en sus relaciones con los "inferiores" como yo: su cerebro funciona 10 veces mas rapido que el mio). Pero por mas listo que sea Cédric Villani que Chris Sims (que no creo que lo sea), en 5 minutos Cédric Villani no va a pensar mas que Chris Sims en 40 años.

Una de las cosas que aprendes muy rapido en una universidad americana de elite como Penn es que la gente que esta en otros departamentos es superlista. Si los profesores de Comp Lit les parece que la teoria X o Y tiene sentido (por mucho que yo no la entienda o que me parezca una tonteria), lo mas probable es que si hablas con ello por 5 minutos de su tema te dejen a la altura del betun de los zapatos. Quien soy yo para decirle nada a la gente de Comp Lit como llevar su negocio? De igual manera, quien es Cédric Villani para decirme a mi como llevar el mio? Cuando Cédric Villani habla de macro solo muestra falta de sentido comun y de humildad intelectual. Y no lo digo por mi, lo digo por Chris Sims, Lars Peter Hansen, Bob Lucas, Ed Prescott y tantos otros que, de verdad, si hubieses podido hablar con ellos, te habrias caido en la silla.

a) Mantenerse "honesto" no significa no mentir, significa obligarse a uno mismo a estar 100% convencido de que los argumentos son correctos. Sin matematicas es muy tentador "creer" que uno ya ha llegado a ese 100%.

b) El ejemplo de la demostracion del teorema de Fermat es precisamente la mejor evidencia en favor de mi argumento:

1) La primera prueba de Andrew Wiles tiene un problema.
2) La comunidad matematica ve ese problema.
3) Wiles soluciona el problema.
4) La prueba esta publicada y aceptada por todos.

Sin la existencia de pruebas formales 1)-4) nunca habria llegado a buen puerto.

Significa esto que el sistema sea perfecto? No, pero la alternativca es mucho peor. Los marxistas, por ejemplo, siguen creyendo en la teoria del valor trabajo. Ian Steedman y otros demostraron que la teoria del valor trabajo es absurda: en presencia de produccion conjunta (que es la unica manera de pensar en capital con depreciacion menor de 1), es trivial encontrar ejemplos donde el valor trabajo de un bien es negativo. Los marxistas que estaban dispuestos a aceptar el uso de matematicas (John Roemer) se dieron cuenta de ello y se han movido a otras maneras de ver el mundo (Roemer dice algunas veces "marxiana" en el sentido de estar en la tradicion o inspiradas por Marx pero no marxistas). Los que se niegan a aceptar las matematicas siguen con la teoria del valor trabajo erre que erre.

Y los austriacos jamas han sido capaces de crear modelos cuantitativos de su teoria del ciclo que funcionen. He hablado mas de una vez con grad students o assistant professors que habian dedicado mucho tiempo a ello (pues les parecia una idea interesante) y luego no habia salido nada.